Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

31 Den „analytiske Methode“; „Elementer“. 229 givet. Der gives altsaa netop Anvisning paa Brug af dens Sætninger til deraf at „sammensætte“ videregaaende Sætninger og Løsninger af Opgaver af en bestemt these, hvilken Apollonios ikke har medtaget i sine Keglesnitselementer, men — overensstemmende med „Elementer“s Hensigt — muliggjort ved disse, bygges paa disse Sætningex’; det er ogsaa af dem, at Newton udleder sin Bestemmelse af de to Steder. En Synthese vil, naar de 3 eller 4 Linier samt Forholdet a er opgivne, være en fuldstændig Bestemmelse af den Kurve, hvis Punkters Afstande x, y, z, u fra Linierne tilfredsstiller en af Betingelserne x1— a • y u eller x z = a • y u. Denne Synthese vil, ligesom Menaichmos’ Bestemmelse af andre geometriske Steder, som vi i næste Kapitel skal omtale, fremtræde som en Konstruktion (f. Eks. af Akserne i det ved en af disse Ligninger bestemte Keglesnit), efterfulgt af et Bevis for, at den konstruerede Kurve virkelig har den for- langte Egenskab. En saadan Synthese vil, ligeledes som hos Menaichmos, svare til en foregaaende Analyse, ved hvilken det søgte geometriske Sted antages at foreligge, hvorefter man af den opgivne Egenskab udleder saadanne, som kan benyttes til den forlangte Konstruktion. Mangler ved Analysen vil da medføre tilsvarende i det Grundlag, hvorpaa Synthesen -skal bygges. Det er en saadan Mangel, Apollonios tillægger Euklid, idet han endog tilføjer, at „det ikke var muligt at tilendebringe Synthesen uden det af mig fundne“ (ou yåp duuarbv äveu npoasup’fp>.é.^u)v Nu er der et Fremskridt, som man ogsaa har andre gode Grunde til at tillægge Apollonios, og som netop vil have ydet, hvad Apollonios her siger. Ved en Analyse vil, naar man holder sig til et Sted til 4 Linier, af hvilke x = 0 og z = 0 er parallele, og benytter den nys nævnte Potenssætning, Stedet vise sig at være et Keglesnit omskrevet om det af de fire Linier dannede Paralleltrapez. Dette kan dog, naar Kurven er en Hyperbel, kun gælde, naar man betragter dennes to Grene under et som en Kurve. Det har Apollonios virkelig gjort fra først af, og han har fremhævet det ved i Fortalen at betegne Ind- holdet af I. Bog som en almindeliggjort Behandling af de tre Keglesnit og „modstaaende (t<5p a>rcxequ.iua)v) Keglesnit“. Euklid, der ogsaa kendte Potenssætningen, hvad man kan slutte af Archimedes’ Anvendelse af denne (Heibergs 2. Udg. I, S. 270 fl.), bar sikkert ogsaa brugt den til Bestemmelse af Stedet til fire Linier. Analysen vilde da føre til samme Resultat, naar Kurven viste sig at være en Ellipse eller Parallel; men naar den Del af det søgte geometriske Sted, som skulde bestemmes i Synthesen, var en enkelt Hyperbel- gren, vilde den muligvis kun gaa gennem to eller ingen af Trapezets Vinkelspidser. I Stedet for de 4 Bestemmelser, som denne Del af Analysen hos Apollonios stiller til Raadighed for den synthetiske Konstruktion af Keglesnittet (og som skal suppleres ved en Anvendelse af Konstanten a), faar Euklid, naar, som det tør antages, ikke allerede han har suppleret den ene Hyperbelgrcn med den modstaaende. kun 4, 2 eller 0 Bestemmelser (eller ialt 5, 3,1), hvorved, som Apollonios siger, Synthesen bliver „umulig“. Allerede Analysen vil iøvrigt hæmmes ved den Begrænsning i Potenssætningen, som følger med Anven- delsen paa en enkelt Hyperbelgren. Iøvrigt henvises til VII. og VIIL Afsnit af „Keglesnitslæren i Oldtiden“. Den omtalte Anvendelse af Potenssætningen til at reducere Opgaven til Bestemmelsen af et Keglesnit, som er omskrevet om et Trapez og yderligere bestemmes ved Værdien af Konstanten a, lægges ved Apollonios' III. Bog saa nær, at det næppe kan betvivles, at han, som efter ham Newton, er gaaet denne Vej. For virkelig at gennemføre Synthesen maa han imidlertid endnu bestemme Keglesnittet ved disse Betingelser, og man maa forstaa hans Ord, som om hans III. Bog ogsaa giver Midler hertil. Den, der virkelig vil skaffe Klarhed over, hvad Apollonios formaaede, kan derfor ikke unddrage sig for at prøve om, og om muligt paavise, at saadanne Midler virkelig foreligger. De Veje, ad hvilke dette kan ske, er imidlertid saa forskellige, at man ikke kan sikre sig netop at angive den, som Apollonios selv er gaaet; men allerede ved at vise, at der overhovedet i hans III. Bog findes Sætninger, der kan tjene til Grundlag for en saa- dan Vej, styrker man Tilliden til hans Oplysninger om, hvad hans III. Bog kunde bruges til ogsaa paa hans Tid. Her har vi vel kun talt om Stedet til fire Linier i det Tilfælde, hvor Linierne x = 0, z — 0 er parallele; men Stedet til tre Linier er et specielt Tilfælde heraf, og Bestemmelsen af det almindelige Sted til fire Linier, som overhovedet af geometriske Steder, der bliver Keglesnit, lader sig føre tilbage hertil (Keglesnitslæren i Oldtiden, VIII. og X. Afsnit).