Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

39 De mathematiske Iværksættere af den platoniske Reform. 237 Beviser for, at den ved den i Ord beskrevne Konstruktion tilvejebragte Figur maa eksistere, saavidt sorn man anerkender, at de rette Linier, Cirkler og Punkter, hvis Eksistens kræves anerkendt i Postulaterne, virkelig eksisterer. De udtrykker altsaa en af al mekanisk Udførelse uafhængig Aarsagssammenhæng mellem Postu- laternes Eksistenskrav og de konstruerede Figurers Eksistens. De i Proklos’ Med- delelse anførte Eksempler er særlig typiske for denne euklidiske og senere græske Brug af Problemer. En ligesidet Trekant eller et Kvadrat skal tilvejebringes ved en i et Problem angivet og bevist Konstruktion, før man gør nogen Brug af disse Figurer. Særlig giver 1,2 Anvisning paa en Omvej, der er ganske betydningsløs, naar man tænker paa mekanisk Brug af Passeren, og den kan kun sigte til An- vendelse af Postulater, der har en rent geometrisk Karakter, og som man vil op- stille i et saa ringe Antal som muligt. Disse Eksempler er vistnok de samme, som i sin Tid benyttedes i selve den omtalte Strid, og ikke saadanne, som senere er tagne af Euklid’s Elementer for at belyse denne. Naar Proklos og andre senere Forfattere gør dette, f. Eks. paa det S. 28 (226) anførte Sted,*hvor Menaichmos ogsaa omtales, anføres Sætningerne gerne med Nummer. At to af de Sætninger, der tages til Eksempel, netop er de to første hos Euklid, maa da bero paa, at det forhandlede Spørgsmaal var fremkommet ved, at del nu netop blev gjort gjældende, at Geometriens Elementer maatte begynde med disse Sætninger som de første Anvendelser af Postulaterne til at sikre sig Eks- istensen af de i disse to Sætninger bestemte Figurer som Udgangspunkter for den paa' Postulaterne samt de „almindelige Begreber“ synthetisk opførte Lærebygning. Den væsentlige Andel, som Menaichmos har haft i Valget af dette Udgangspunkt for geometriske Elementer, turde fremgaa af den her foreliggende Forhandling om de dertil knyttede Benævnelser paa Sætningerne og om den Betydning, man derved tillagde dem, og den bekræftes ved, al vi S. 28 (226) saa Menaichmos nævne Postu- laterne som Geometriens første Elementer. Man vil maaske her indvende, at det er under Omtalen af Speusippos’ og Amphinomos’ Mening, al de tre Eksempler nævnes. Dels kan man imidlertid ikke fra dem vente et særlig i mathematisk Henseende betydningsfuldt Skridt, dels frem- kommer Eksemplerne ikke som Forslag til en Ordning fra deres Side, men snarere som Indvending mod en Ordning eller i det mindste imod al markere den ved at give de anførte første Begyndelsessælninger og dem, hvormed man i Overensstem- melse dermed ogsaa maa begynde senere Afsnit, det særlige Navn Problemer. Med nogen Ret kan der siges, at de netop efter den Brug, man gør af dem, bliver en Slags Theoremer, nemlig Eksistenstheoremer. Ved den anførte Begrundelse heraf redder Platon’s filosofiske Efterfølger, Speusippos, som alt berørt i Begyndelsen ai dette Kapitel, sin Tilslutning til Platon, efter hvem de mathematiske Sandheder som evige Sandheder ikke kan tilvejebringes. Menaichmos kommer paa en anden Maade til sin Sammenstilling af begge Dele som „Problemer“, idet han synes at fastholde, at baade de ideelle Figurer selv og deres Egenskaber kun er til i vor Erkendelse, og at de saaledes først bliver til ved Eksistensbeviser, eller ved det,