Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

238 V. Kapitel. 40 som han kalder Problemer. Maaske er det i Erindring om denne Strid, at Euklid, ikke som mange af hans Efterfølgere ved Overskrifter betegner om de enkelte Sæt- ninger er „Theoremer“ eller „Problemer“ i den Betydning, hvori disse Ord altid senere er blevet tagne. Den Forskel, der er imellem dem, og som ogsaa Menaich- mos anerkender ved Omtalen af to Slags Problemer, træder dog altid frem i Sæt- ningernes Form og Behandling, saaledes ved at ende deres Beviser henholdsvis med Ordene „det, som skulde gøres“ eller „det, som skulde bevises“. Endog det store positive geometriske Fremskridt, som tillægges Menaichmos, kan have haft at gøre med Geometriens formelle Konsolidering. Jeg tænker paa Opdagelsen af plangeometriske Hovedegenskaber, der karakteriserer Keglesnitslinierne, eller snarere Anvendelsen af Keglesnit til at konstruere to Mellemproportionaler; thi begge Dele er vel næppe fundne samtidig. Plane Snit i Cylinderen synes navnlig at have været undersøgt tidligere, og det er ikke umuligt, hvad Tannery antager, at det „Snit“, hvormed Eudoxos, som vi nys saa, skal have beskæftiget sig, kan have været et plant Snit i en Kegleflade. Hvad der særlig tillægges Menaichmos, er Anvendelsen af Parablerne æ2 = ay og y = bx og Hyperblen xy = ab til at finde de to Mellemproportionaler x og y mellem a og b, saaledes at a : x = x : y = y : b. Me- naichmos’ Opdagelse er da gaaet ud paa, at de nævnte Kurver, hvis Anvendelighed til at løse de nævnte Opgaver er iøjnefaldende, og som maa have frembudt sig, da man saa, at der til delle Brug krævedes andre Linier end ret Linie og Cirkel, kan frem- stilles som plane Snit i Kegleflader. Denne Konstruktion giver netop for disse Kurvers Vedkommende det Eksistensbevis, paa hvilket vi nys saa, at Menaichmos lagde saa stor Vægt. Eksistensen af Kegler og af plane Snit i Kegler følger nemlig af de Eksistenskrav, som den elementære Geometri stiller for Cirklens og den rette Linies Vedkommende. Ogsaa den Form, hvorunder Bestemmelsen meddeles af Eutokios, fortjener Opmærksomhed x). Overskriften 3% synes at betegne, at her virkelig fore- ligger en Gengivelse af den overleverede Form for Menaichmos’ egen Fremstilling, Under denne Overlevering med et eller liere Mellemled er der ganske vist foregaaet Forandringer, i del mindste den ret selvfølgelige, at Keglesniltenes nyere Benæv- nelser, Parabel og Hyperbel er indførte; men Delingen i en Analysis og en Synthesis, som fremsættes i de for disse typiske Former, gaar rimeligvis tilbage til Menaich- mos. At selve Ordet Analyse ikke forekommer2), stemmer med, at han ogsaa efter Citatet S. 28 (226) endnu ikke synes at have gjort Brug af dette Kunstord. Naar der- imod Synthesen indledes med oovTS^aeTat dy outwq, kan dette enten være kommen ind senere eller være en begyndende Brug af Ordet Synthese. I Analysen træller vi Ordet dollév „givet“ i den samme S. 32 (230) omtalte Betydning, hvorom del da be- *) Heiberg’s 2. Udgave af Archimedes 111, S. 78 ff. 2) Det kan iøvrigt staa hen, om man, selv da en fuldstændigere Terminologi havde udviklet sig for den analytiske Methode, som Overskrift over den her først meddelte Analyse vilde bruge Ordet d>aÅuacs eller det noget mere begrænsende Ord dnapu^. I en videre Forstand tager den med Menaich- mos samtidige Aristoteles Begrebet Analyse, naar han kalder sin Logik 'AvaÅurixa.