Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

242 V. Kapitel. 44 Vedkommende [altsaa om retle Linier] og bevises for det øvriges [f. Ex. Trekanter]. — Det er jo netop det første, der gøres i Euklid’s Postulater, dog saaledes, at der ikke helt i Almindelighed siges, at f. Ex. rette Linier existerer, men saadanne, som er bestemt ved to Punkter (Post. 1) eller ved et helt Liniestykke (Post. 2) o. s. v. Ved Beviserne for Existensen af de sammensatte Figurer, begyndende med lige- sidede Trekanter, benytter Euklid ikke blot de for Videnskaberne fælles Forudsæt- ninger (ra xotvd), af hvilke Euklid som „Almindelige Begreber“ (xotvdt evvoiai) har anført dem, der ogsaa finder Anvendelse paa Geometrien; men foruden de efter- haanden beviste Sætninger bruges ogsaa de Egenskaber ved Grundbegreberne, som gaar med ind i Paastanden om deres Existens, saaledes for den rette Linies Ved- kommende dens Bestemmelse ved to Punkter. Det maa være disse Egenskaber, som Aristoteles nævner som det tredie (xai rplrov to. ndtfap d>v ti arjpalvet exaaTov), der foruden det, som Definitioner og Axiomer (ra xoivd) indeholder, behøves i et Bevis og kræves forudsat. Dette passer ganske paa Euklid’s Postulater; men fol- det til Euklid’s Benævnelse svarende Verbum aheiv (kræve) bruger Aristoteles her endnu Ordet hapßdvetv (tage), der ogsaa kan finde Anvendelse paa andre op- stillede Forudsætninger, saaledes i Kapitlets Begyndelse paa Definitioner. Archi- medes kakler ogsaa de af ham indførte Forudsætninger kapßavdpeva. Ordet Postulat (aiTypa) bør da vist kun som hos Euklid anvendes paa Existensantagelser, Exi- stenskrav. Dette Ord forekommer som sagt først i den anden Del af Kapitlet hos Ari- stoteles, hvor det sammenstilles med bitü&eatq, Forudsætning. Noget af det, som han lier siger om de ved disse Ord betegnede Begreber, kan passe godi paa de euklidiske Postulater. Naar han saaledes siger, at der ikke er nogen Nødvendighed for at antage dem, vilde dermed udtrykkes det samme, som jeg S. 8 (206) har betegnet ved at kalde dem den væsentlige Del af Definitionerne, idet de f. Ex. for den rette Linies Vedkommende ikke følger af den opstillede Definition 4. Denne, der blot knytter sig til det ydre (itpbq tov zqco Ådfov), er geometrisk intetsigende (smigo. VIII. Kap. i nærv. Skrift) og kan ikke bruges i Beviset. Dette maa knyttes til del indre, som opfattes med Sjælen (jrpoQ tov kaco eller npbq tov év rjy Netop dette Krav opfyldes af Euklid’s Postulater, som i Modsætning til den omtalte Definition anfører geometrisk frugtbare Egenskaber. Endog det, der særlig siges om Postulater, at Læreren postulerer det, hvorom Lærlingen enten ingen Mening har eller endog en modsat, kunde forsvares med, al de ikke passer paa de tegnede Figurer. Derimod vil det være vanskeligere at forlige den Antagelse, at de her omtalte Postulater skal være de euklidiske, med Aristoteles’ Forklaring, at man deri uden Bevis antager det, som dog virkelig er bevist (daa pev ouv detxza dvTa Xapßdvei auToQ py detqaq), en Egenskab, som han kommer tilbage til. Heath mener at komme ud herover ved at oversætte dzixrd ved „matter of proof“, hvad han i sine egne Forklaringer omskriver til „a proper subject of demonstration“. Derved kan sigtes til, at i ostulateine skulde udlulc Sætninger al samme Nutur som dein man sæd- vanlig beviser. For ikke at tale om 4. Postulat, som man sædvanlig undres over