Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

45 De mathematiske Iværksættere af den platoniske Reform. 243 ikke at finde mellem beviste Sætninger, synes en saadan Opfattelse at bekræftes ved de talrige Forsøg paa at bevise det 5te. Disse skriver sig dog mest fra den Tid, da det opstilledes som Ilte Axiom, og man endnu ikke saa, at det var uund- værligt som Antagelse af en Existens, nemlig af et Skæringspunkt. Jeg kunde bedre tænke mig, at der ved Anvendelsen af deixzd her ikke tænkes paa et mathe- inatisk Bevis, som jo netop ikke kan føres, men paa en Eftervisning af den paa- slaaede Mulighed af Post. 1, 2, og 5 ved Hjælp af Lineal, af 3 ved Hjælp af Passer og af 4 ved Hjælp af Gnomon (se i det følgende Kap. VII og VIII); /r/z delgaq ud- trykker da, at Paastanden gøres gældende uafhængig af denne Eftervisning, der dog kun kan være ufuldstændig. Der er dog en anden Forklaring af Ordet vTtofteaiq, paa hvilken de her udtalte Ord synes at passe bedre, nemlig den, som vi er vante til, naar vi i Udsigelse af en geometrisk Sætning skelner mellem Udsigelserne af de Forudsætninger, som gøres om den forelagte Figur, og af de Egenskaber, den da skal bevises at have; disse kalder vi Hypothesis og Thesis. Her bevises Hypothesis ikke; men skal man anvende Sætningen paa en forelagt Figur, maa Hypothesis forud være bevist om denne. Ogsaa hvad der ellers siges i Kapitlets anden Del passer paa en saadan Hypothesis, det tilsidst anførte Exempel: at en Linie paa Figuren siges at være en Fod, uden dog at behøve at være det paa den tegnede Figur, endog særlig godt. Denne Forklaring af Ordet Hypothese, for hvilket man under nærmere betegnede Omstændigheder skulde kunne sætte Postulat (amy/m), synes at være den, hvortil Heiberg sigter; men som sagt betegner den da noget andet end det, der har været Tale om i Kapitlets første Del. Hypotheser i denne Betydning vilde overhovedet ikke vedrøre Grundbegreber eller Grundsætninger (ac dpyai), der betegnes som Ka- pitlets Indhold. Heller ikke ved jeg (hvis Kundskaber paa dette Omraade dog ikke gaar langt), om Aristoteles særlig anvender Ordet Hypothese paa denne Art Forudsætninger. Proklos gør det vel (S. 252,7), naar han i Anledning af Euklid 1,6 taler om Sæt- ningers Omvending, som sker ved, at Hypothesis — i den her nævnte Betydning — ombyttes med Thesis; Thesis kalder han derimod her i Overensstemmelse med sædvanlig græsk Sprogbrug, Konklusion (copzzpaøfia). Dette sidste gør ogsaa Ari- stoteles, naar han i Anal, priora 11,24 taler om Omvending af Sætninger; men Ordet unodeatq forekommer ikke her. Derimod har Heath henvist til, at det i Anal, posteriora 1,2 netop (72 a 14—22) bruges til at betegne de i første Del af 10. Kap. omtalte Existenspaastande, hvorved han, og jeg med ham, mener, at del- vises hen til saadanne Forudsætninger som dem, hvilke Euklid kalder Postulater (olov Åé/w, to elv at ti q prj elval zl). Af all dette ser man, at Aristoteles er fortrolig med den Tankegang, som førte til Dannelsen af de euklidiske Postulater; men selv om man fuldt ud holder sig til Heath’s Fortolkninger, har den vistnok endnu været temmelig ny og Gen- stand for Forhandlinger vel nærmest mellem Aristoteles og den Geometer, der havde særlig Brug for den ved saadanne „Problemer“ som dem, hvormed han vilde