Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

244 VI. Kapitel. 46 begynde Geometrien, nemlig Menaichmos. Af Citatet S. 28 (226) saa vi, at han kaldte de geometriske Grundelementer, hvortil han kommer ved sin Analyse, Postu- later (afrføara), og at disse i det mindste var af samme Aar som Euklid’s, ser vi af den Maade, hvorpaa han (S. 39 (237)) begyndte at opføre Geometrien. Det turde da være i Tilslutning til ham, at ogsaa Aristoteles i visse Tilfælde vil bruge dette Ord, medens han har begyndt med at kalde den Slags Forudsætninger Hypothesen Menaichmos havde Brug for niere formulerede Postulater, end den blotte Paastand om Existensen af en ret Linie o. s. v., særlig i de Sætninger, hvormed han vil be- gynde, for Euklid’s Post. 1 og 3 og maaske for Kvadratets Vedkommende for 4. Postulat (se Kap. VIII). Naar derimod Aristoteles ikke, saaledes som han gør for „Alm. Begr.“, giver noget Exempel paa et udformet Postulat, forklares det ved, at saadanne ikke endnu har foreligget i Theudios’ Elementer, men netop først opstil- ledes paa hans Tid af Menaichmos. Dette Resultat stemmer med det, hvortil Hei- berg var kommen, idet han slet ikke mente at finde noget om de euklidiske Po- stulater hos Aristoteles * l *). Vi skal i VIII. Kap. se, at et Hovedformaal, som knyttede sig til den her om- talte Brug af poslulatbestemte Problemer, var at ombytte de anskuelige meka- niske Flytninger af Figurer med Konstruktioner. Vi vil da ogsaa faa at se, hvilke Vanskeligheder Mathematikerne fra Menaichmos til Euklid havde at overvinde for at naa dette Maal, som først Nutiden, særlig gennem Hilbert, har naaet paa en Maade, der tilfredsstiller den. Først maa vi dog se, hvor stor en Rolle saadanne Figurflytninger spillede i den førplatoniske Geometri, og hvor nær del psykologisk har ligget at bruge dette Hjælpemiddel. Kap. VI. Om oprindelige intuitive Billeder; Synsoplevelser. Hvad der indenfor den elementære Geometris Omraade, det vil sige indenfor det Omraade, som behandles i Euklid’s Elementer, særlig beskæftigede Mathema- tikerne fra Platon til Euklid, var Anvendelsen af den analytiske Methode til at ’) Ved Gennemsynet af Aristoteles’ Analytica ser jeg, af Anal. Post. 1,7, at Mathematikerne paa hans Tid allerede maa have beskæftiget sig med Spørgsmaalet om Løsningen af Ligningen x3-f- y’ = z3 i hele Tal. Det nævnes som Exempel paa et arithmetisk (taltheoretisk) Spørgsmaal, der ikke kan løses geometrisk (o: ved den almindelige Størrelseslære); forud er det omtalt, at der ikke kan føres arith- metiske Beviser for almindelige geometriske Sætninger. Det her nævnte Spørgsmaal, som ikke vedkom- mer de i vor Text omtalte Sager, omtaler jeg her som et Vidnesbyrd om, at den platoniske Skoles mathe- matiske Undersøgelser ogsaa strakte sig til dette Spørgsmaal, som man ellers først træffer behandlet i den arabiske Mathematik.