Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

47 Intuitive Billeder, Synsoplevelser. 245 give Geometrien, der tillige omfattede den daværende Form for en almindelig Alge- bra, en saadan Skikkelse som den, Platon krævede. Den første Betingelse for et saadant Arbejde var, at der allerede existerede en Mathematik, hvis Sætninger man kunde udstykke i „Elementer“, ja i sine første Elementer, Definitioner og Axiomer, for af disse igen at sammensætte baade de Sætninger, man gik ud fra, og nye Sæt- ninger. At denne Betingelse virkelig var til Stede i et Omfang, der i sine ydre Om- rids ikke udvidedes synderlig ved Euklid’s Elementer, ser vi tildels af Hippo- krates’ Behandling af Halvmaanerne, der viser, at han besad og forstod at anvende hele det ikke ubetydelige Udsnit af geometrisk Viden, som han derved kunde faa Brug for; Demokrit kendte Pyramidens og Keglens Rumfang, og de fem regulære Polyedre var kendte paa Platon’s Tid. Den anden Forudsætning er, at denne ældre Viden ikke allerede selv var erhvervet ad væsentlig de samme Veje, som Euklid følger i sine Elementer, og som vi efter ham har vænnet os til at betragte som de eneste, der fører til en paalidelig Viden. Man kunde i Virkeligheden fristes til at tro, at Hippokrates’ Viden er vundet ad lignende Veje, naar man ser ham benytte den paa hans Tid foreliggende Viden til ligesaa korrekte Slutninger som dem, Euklid eller en nulevende Mathematiker vilde gøre. Mange har derved ladet sig friste til ogsaa for de Sætningers Vedkommende, som han anfører og benytter, men for hvilke vi ikke kender lians Begrundelse, at forudsætte Begrundelser stem- mende med de euklidiske Principer. Saaledes har endog Hankel, hvis Omtale af indisk Mathematik dog viser hans Erkendelse af, at der ogsaa gives andre Veje til mathematisk Viden end den helt igennem forstandsmæssige Behandling, i den Grad forset sig paa dennes Optræden hos Grækerne, at han overser, at den heller ikke hos dem kunde være Udgangspunktet, men kun en Behandlingsform, som først kunde udvikle sig, efterhaanden som den fik Materiale at tumle med. Naar saa- ledes Hippokrates ved, at Cirkler forholder sig som Kvadraterne paa deres Dia- metre, kan Hankel kun forestille sig, at denne Viden er erhvervet paa en Maade, som i nogen Maade stemmer med Euklid’s Bevis for denne samme Sætning. I saa Fald maatte Hippokrates have foregrebet Betragtningsmaader, som Eudoxos vist med Rette faar Æren for at have indført. Paa Grund af Manglen af de samme Betragtningsmaader, der maa kræves anvendte i et exakt Bevis for Sætningerne om Pyramidens og Keglens Rumfang, betænker Archimedes i „Ephodos“ sig paa at betragte Demokrit som disset Opdager. Og som virkeligt Bevis for de paa Platon’s Tid kendte fem regulære Polyedres Existens betragtede Grækerne efter Euklid kun den af ham givne Konstruktion, som knytter sig til den forudgaaende Inddeling af de Størrelser, der — som vi nu siger — er irrationale ved Kvadratrod. Den formelle Opstilling af Definitioner og Axiomer, som danner et uundværligt Grundlag fol- en systematisk Behandling, gaar, efter hvad vi ved, heller ikke paa noget væsent- ligt Punkt længere tilbage end til Platon's Tid. Der var altsaa virkelig paa hans Tid noget at gøre for at opføre en systematisk Lærebygning, der omfattede den geometriske Viden, som man alt besad. Hvorledes var da denne ældre Viden erhvervet? Og hvorfra skrev sig den