Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

49 Intuitive Billeder, Synsoplevelser. 247 at give nogen Begrundelse. Den Tænkning, som allerede er fornøden for at beskrive et Billede i Ord, kan dog samtidig have faaet nogen Indflydelse ogsaa paa dets Dan- nelse; Udsigelsen af dets enkelte Træk er i sig selv en begyndende Tænkning. Bedst sikret er altsaa den oprindelig intuitive Karakter af Billeder, hvis Gyldighed man betragter som saa selvfølgelig, at man finder det overflødigt at beskrive deres Ind- hold, ja endog blot at nævne dem, og dog bygger paa dem som Kendsgerninger. Et Exempel herpaa frembyder den tidlige Dannelse af Plangeometrien. Her er ikke fjerneste Tale om, hvad en Plan eller blot en Flade er, hvilket jo vilde kræve rumlige Forklaringer; men hvad der siges om Figurerne, om Stykker af Marken, som maales, om de Afbildninger, man gør i Sandet eller paa andre Flader, passer kun paa Figurer i Planen. Man har saaledes et intuitivt Billede af Planen. Hvorledes dette er opstaaet, er et psykologisk Spørgsniaal, som det ikke her er vor Sag at besvare. Man ser bort fra de Ujævnheder, som alle de Flader, man har set eller følt paa, frembyder; man foretager altsaa en ubevidst Abstraktion, hvad der er mindre mærkeligt, naar det erindres, hvad vi skal vende tilbage til i XIII. Kap., at Evnen til at abstrahere paa dette Standpunkt hænger nøje sammen med Mang- len paa Evne til at differentiere. Hvorledes det nu end er hermed, saa opererer man i en Plan, og Operationerne foretages og beskrives, uden at der tales om den Plan, hvori alt foregaar. Dens Existens vedbliver som en Forudsætning at ligge bagved, ogsaa længe efter at man har begyndt at ræsonnere over de i Planen inde- holdte Figurer. Deri ligger ogsaa Grunden til det store Forspring, som en viden- skabelig Behandling af Plangeometrien fik for den endnu af Platon savnede viden- skabelige Behandling af Stereometrien. At den ideale Plan er et intuitivt Billede, træder os iøvrigt ogsaa i Møde under alle de Forsøg, som fra Platon’s Dage til nu er gjort paa at definere den direkte eller ved karakteriserende Postulater. Vi prøver disse Definitioner, ikke efter om de pædagogisk eller videnskabelig er mere eller mindre hensigtsmæssige, men efter om de stemmer med det intuitive Billede, vi nu engang besidder, og i Henhold til hvilket vi foretager Operationer i Planen. Med Billedet af en ret Linie gaar det paa samme Maade. Ja, som med Planen er det endog indtil vore Dage vedblevet al gaa med det tredimensionale Rum. Som intuitivt Billede har dette som „Rummet“ dannet Rammen for alle geometriske Undersøgelser, indtil det selv som tredimensionalt er indrammet i det mere abstrakte Begreb: Rum med et vilkaarligt Antal Dimensioner. For at vinde den rette Forstaaelse af ældgammel Geometri vil det dog være godt tillige at have andre Midler til at afgøre, hvilke intuitive Billeder der har slaaet til Raadighed paa den Tid, end selve Beretningerne, der jo, som vi her saa, ofte kun ved deres Tavshed røber dette. Vi maa helst have en Vejledning af samme Art som ved Læsningen af de mere videnskabelige Arbejder fra en noget yngre Tid. Ved den gaar vi ud fra, al Tankens Love var de samme for disses Forfattere som nu, selv om de kan være iklædt saa forskellige Former, at det kan kræve et vist Arbejde deri at genfinde de samme Tankeforbindelser, som vi nu bruger. For ret at forslaa de ældste geometriske Iagttagelser maa vi paa lignende Maade gaa 33 D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række, I. 5.