Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

57 Ældre lirug af Figurflytning. 255 ning i hele Tal af den pythogoreiske Ligning a2 — b2 = c2. Saaledes forstaar man, at der i Culbasutra’erne angives nogle Bestemmelser af Grupper af hele Tal for Sider i retvinklede Trekanter. Disse Talgrupper svarer til Gnomonbredderne 1 og 2. Be- handlingsmaaden er den samme, som Grækerne anvendte. Den Løsning af den pythagoreiske Ligning, som man (Proklos S. 428) har tillagt Pythagoras, svarer til Gnomonbredden 1, den, som man har tillagt Platon, til Gnomonbredden 2. Det er dog ingenlunde min Mening at tillægge Inderne paa den Tid, der beskæftiger os, nogen saadan Sammenfatning i almindelige Regler1), men kun at pege paa, at de samme simple Forhold, som ligger til Grund for disse, har tilladt Inderne at finde hvert enkelt af de dem bekendte Resultater ved Tælling af de i Gnomonfigurer indeholdte Kvadrater. At Culbasutra’ernes Forfattere og deres Forgængere ogsaa kunde gøre videre gaaende Anvendelser af Gnomonfiguren, ses navnlig af deres derpaa grundede Kon- struktion af et Kvadrat lige stort med et givet Rektangel, som er den samme, som vi genfinder i Euklid’s II, 14, og som rimeligvis Pythagoreerne anvendte. I en ny *) T. A. Heath tillægger mig (Euclid I S. 363) en saadan Anskuelse, fra hvilken han da ganske naturlig tager Afstand. Hans Anskuelse synes iøvrigt at stemme med en anden Hypothese om Indernes Opdagelse af forskellige pythagoreiske Trekanter og en dertil knyttet Opdagelse af den pythagoreiske Sætning, for hvilken Beppo Levi gør Rede i Bibliotheca mathematica 93 (1908). Som det ses af Cul- basutra’erne, forstod Inderne til den intuitive Opfattelse af Figurens indre Symmetri at knytte den ogsaa nu brugelige Konstruktion af en ret Linie, som i Midtpunktet C af en ret Linie AB staar vinkelret paa denne: den skal ogsaa gaa igennem et andet Punkt D, som er lige langt fra A og B. I Stedet for Passer brugte man til Bestemmelsen af D en Maalesnor. Da det nu forat faa aldeles bestemte Regler for Konstruktion af Altre havde nogen Betydning, at alle derved brugte Maal fik bestemte Væi'dier, har man efter Levi’s Formodning prøvet at finde saadanne Snoi’længder, at ikke blot AC og AD, der umid- delbart anvendes ved Konstruktionen af den vinkelrette, men ogsaa Katheten CD kunde udtrykkes ved et vist Maal, taget et helt Antal Gange. Forsøg herpaa lykkedes paa forskellig Maade, hvorved man fik de forskellige i Culbasutra’erne angivne retvinklede Trekanter med Sider udtrykte i hele Tal. For disse Tilfælde viste det sig, at Hypotenusens Kvadrat var lig Summen af Katheternes; ved en Induktion sluttede man da, at det samme ogsaa gjaldt om andre retvinklede Trekanter. Jeg skal derimod bemærke for det første, at den Induktion, hvorved man skulde have alminde- liggjort en Iagttagelse fra nogle specielle Tilfælde, ikke under de foreliggende Omstændigheder vilde kunne være ledet af en intuitiv Følelse af en Sammenhæng mellem de numeriske og geometriske Egen- skaber, som i disse Tilfælde havde vist sig at være forbundne. Endvidere maatte man vente, at den pythagoreiske Sætning, hvis den paa denne Maade fra først af særlig var knyttet til en Konstruktion af Trekanter, ved hvilken de af disse dannede Rektangler er ganske ligegyldige, ogsaa vilde være bleven udtalt om Trekanter og ikke som i Culbasiitra’erne om Rektangler. Af disse Grunde forekommer Hypo- thesen mig noget vilkaarlig. At B. Levi har fundet den nødvendig, beror efter mit Skøn ogsaa paa en Undervurdering af det intuitive Overblik, som i det hele lægges for Dagen i Culbasutra’erne, og hvoraf navnlig den Omdannelse af et Rektangel til et Kvadrat, som vi straks skal omtale, er en betydelig Frugt. Culbasutra’erne røber for megen Figursans og Figurglæde til, at det skulde være nødvendigt at antage, at det er udelukkende praktiske Formaal, der, gennem de til disses Opfyldelse nødvendige forsøgsmæssige Konstruktioner, ret tilfældig og ved en ret dristig Induktion har ført til at opstille den almindelige pythagoreiske Sætning. Det er Figurglæde, som man lægger for Dagen ved at give sine Helligdomme netop saadanne Former, hvor de forskellige retvinklede Trekanter, som man kendte, og hvoraf en enkelt vilde være nok for Konstruktionens Skyld, samtidig forekommer hver paa sin Maade. O, K. D. Vidensk. Selsk. Skr„ naturvidensk. og mathem. AM., 8. Række, 1.5. 34