Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

61 Ældre Brug af Figurflytning. 259 søgt at faa en Begrundelse af det derved benyttede Faktum, og da kunde Vejen til den almindelige pythagoreiske Sætning ikke være lang. Den praktiske Brug af Trekanten (3, 4, 5) kan ogsaa skrive sig fra fjernere østlige Lande, men den al- mindelige Sætning og dens Begrundelse kan næppe være fulgt med herfra; thi i den græske Geometri findes intet Spor af en saadan Begrundelse, som ligner den, der udtrykkes ved den kinesiske Tavle, eller som viser Slægtskab med Bhaskara’s eller Abul-Wafa’s senere Beviser. Kendte Grækerne før Euklid et saadant Bevis, vilde der nemlig ikke have været Anledning for denne til, som Proklos siger (S. 426,12), at opfinde det fine, men mindre anskuelige Bevis, som findes i Slutningen af hans første Bog. For et saadant har han Brug her, da det gælder om at have Sætningen til Raadighed forud for den almindelige og af Spørgsmaal om Leddenes Kommen- surabilitet uafhængige Proportionslære i V. Bog. Dertil kunde han godt have be- nyttet et saadant Omlægningsbevis som de asiatiske, hvis han havde kendt et saa- dant, idet han kunde omskrive Omlægningerne paa samme Maade, som han gør det ved Brugen af Gnomon. Et nyt Bevis blev derimod nødvendigt, naar der i det ældre græske (Pythagoras’ ?) var gjort Brug af Proportioner eller ligedannede Fi- gurer. Det er derfor rimeligt at antage, al dette har været Tilfældet (Oversigt 1913, S. 472); i Tilslutning til Ægypterne havde Grækerne nemlig, som vi senere skal se, tidlig begyndt at beskæftige sig med saadanne Figurer. Grundlaget for den nys nævnte geometriske Algebra maa man lære at kende af II. Bog af Euklid’s Elementer. Selve den Methode, som dette Navn udtrykker, træder her dog kun indirekte frem. Det er nemlig ikke Fremstillingen af en Me- thode og Regler for dens Anvendelse, som Euklid giver. Her som andensteds nøjes han med at bevise Sætninger, som skal bruges, og først af senere Sætninger, Theo- remer eller Problemer, ser man, at de virkelig finder Anvendelse. Her er tilmed Tale om en Methode, som var vel kendt før hans Tid, og hvori han maa forud- sætte nogen Øvelse hos sine Lærlinge, der for Begyndelsesgrundene kan have er- hvervet den ved den tidligere Undervisning i Logistik og Metretik1) og senere faaet den suppleret ved Øvelser knyttede til hans egen Bog. Uden det vilde de ikke godt kunne følge de talrige Anvendelser, som han i X. Bog gør af Ligninger al 2. Grad, og endnu mindre blive sat i Stand til at læse videregaaende Værker som Keglesnitslæren, hvor vi hos Apollonios ser, at den geometriske Algebra anvendes næsten helt igennem. I II. Bog er Euklid’s Formaal derimod at give de Sætninger, som bruges ved Udførelsen af de herhen hørende Operationer, en helt ny Begrun- delse. Naar Pythagoreerne gjorde saadanne Anvendelser af Gnonomfiguren som dem, vi S. 56 (254) har peget hen paa, og naar de ved Flytning af Rektangler dan- nede de Gnonomfigurer, der anvendes ved Fladeanlæg, maa de have forestillet sig virkelige mekaniske Flytninger. At ombytte disse med postulatbestemte Konstruk- tioner er derimod næppe faldet nogen ind før Menaichmos, og det er det, som Euklid gør i II. Bog. I første Del af I. Bog har han paa en Maade, som vi skal ’) Se Paul Tannery: Léducation platonicienne. Revue philosophique 10 — 12 (1880—81).