Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

260 VII. Kapitel. 62 omtale i næste Kapitel, overvundet de store Vanskeligheder, som Dannelsen af Grundlaget for en saadan Behandlingsmaade volder, og i Slutningen har han bevist de for den geometriske Algebra nødvendige Arealsætninger, derunder den pythago- reiske. En konstruktiv Behandling af de Rektangler og Kvadrater, hvormed den geometriske Algebra opererer, kan derfor ikke volde ham nogen alvorlig Vanske- lighed i II. Bog; men det er dog herpaa og paa dennes omhyggelige Udførelse, Hovedvægten lægges. I 4. er det f. Ex. Konstruktionen af Gnomonfiguren og Be- viset for, al de enkelte dannede Figurer er Rektangler og Kvadrater, som lægger Beslag paa Forfatterens Omhu. Den logiske Sammenhæng med de euklidiske De- finitioner fastholdes ved Opstilling af Sætningerne 2. og 3., som nærmest er spe- cielle Tilfælde af 1. Denne indeholder nemlig den geometriske Fremstilling af a (b i- c -f- d • • •) — ab 4- «c ad.. hvor alle Produkterne er Rektangler mellem samme Paralleler. I 2. og 3. vises det samme i særlige Tilfælde, hvor et af Rekt- anglerne er ombyttet med et Kvadrat; thi Rektangler og Kvadraler har hver sin Definition, saa de sidste ikke opfattes som specielle Tilfælde af de første; maaske har den ældre geometriske Algebra ogsaa gjort særlig Brug af 2. og 3. Paafaldende er det, at, som Heath gør opmærksom paa (I, S. 377), de 10 før- ste af Bogens 14 Sætninger trods deres nære Sammenhæng bevises hell uafhængig af hinanden i stærk Modsætning til Euklid’s synthetiske Behandling af de øvrige Bøger. Det turde hidrøre fra, at Euklid i disse 10 Sætninger, der særlig ligger til Grund for den geometriske Algebra selv, vil vise, al hans Behandling af Geome- trien kan give hver af dem og de anskuelige Figurer, hvorved man udtrykte dem, et fast rationelt Grundlag, men her ikke bekymrer sig om deres indbyrdes Sam- menhæng. Da flere af disse Sætninger ikke bruges i det følgende, er disse endog kun medtaget af Hensyn til de Anvendelser, som man alt forstod al gøre, og som han ikke nævner. Jeg har saaledes i 1. Afsnit af „Keglesnilslæren i Oldtiden“, vist at Sætningerne1) 9. og 10. laa til Grund for den successive Dannelse af de fra Py- thagoreernes Tid kendte Kædebrøkskonvergenter til |/2, og deres virkelige Sam- menhæng med disses Bestemmelse er bekræftet ved Kroll’s senere udkomne Ud- gave af Proklos’ Kommentar til Platon’s „Stat“. Det er ogsaa let at paavise den Anvendelse, man har gjort af Sætning 8., nemlig til Bevis for den Løsning i hele Tal af Ligningen x2 +1/2 — z2, som man har tillagt Platon. Allerede den simple Gnomonfigur vil, naar man tager hele Tal til Kvadratsider og giver Gnomon Bred- den 1., vise, at de ulige Tal er Differenser mellem to paa hinanden følgende Kva- drattal, og at saaledes de ulige Kvadrattal giver en Løsning af Ligningen, nemlig den pythagoreiske. Den platoniske vilde vel faas ved Gnonombredden 2; men det samme opnaas i Sætning 8. ved dels indenfor, dels udenfor samme Kvadrat at lægge en Gnomon med Bredden 1. Sætningen, hvis geometriske Form i umiddelbar Over- sættelse til det nuværende algebraiske Sprog vilde lyde ’) Mon man iøvrigt ikke før Euklid skulde have aflæst disse Sætninger af samme Figur, som benyttes i 8.? Dette forekommer mig at have ligget den geometriske Algebra nærmere. (Se Heath I S. 394).