Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

63 Ældre Brug af Figurflytning. 261 (a -J- fr)2 = (« — b)2 + 4 etb, giver, naar man sætter Gnomonbredden b = 1 og for a tager et Kvadrattal, den saakaldte platoniske Løsning. En særlig Interesse frembyder Sætningerne 5. og 6., da de angiver de algebraisk- geometriske Omformninger, hvorved man udfører det elliptiske og det hyperbolske Fladeanlæg, som er den græske Form for Løsningen af blandede Ligninger af 2. Grad. Og dog er det ikke til dem, at Euklid knytter Løsningen af disse Opgaver; men han opsætter det, til han i VI. Bog kan give denne Opgave en almindeligere Skikkelse. Da denne Almindeliggørelse slet ingen Rolle spiller ved de senere An- vendelser af Fladeanlæg, men han i X. Bog holder sig til de Operationer med Rektangler og Kvadrater, som man lærer at kende i 11,5. og 6., er dette et fremtræ- dende Eksempel paa, at lian i II ikke stræber udtrykkelig at fremdrage Nytten af den geometriske Algebra. Denne Nytte kunde han ogsaa betragte som bekendt, da Fladeanlæg efter Eudemos var en Overlevering fra Pythagoreerne (Proklos, S. 419,15). Efter at Euklid i de ti første Sætninger har ført saadanne Beviser for den geometriske Algebra, som passer ind i hans System, anvender han den i de fire sidste til at bevise saadanne geometriske Sætninger, for hvilke han allerede har Brug. 12. og 13. supplerer den pythagoreiske Sætning med Bestemmelsen af en Side i en vilkaarlig Trekant ved de to andre og Projektionen af den ene paa den anden. Det er hertil, at han har haft øjeblikkelig Brug for den geometriske Alge- bra. 14. indeholder den Omdannelse af et Rektangel til el Kvadrat, som vi allerede fandt i Culbasütra’erne. I 11. højdeler han en ret Linie, hvad han i IV, 10. og 11. faar Brug for ved Konstruktionen af en regulær Femkant. Dette udføres ved Hjælp af 11,6 allsaa i Virkeligheden ved et hyperbolsk Fladeanlæg; men da dette først direkte opstilles i VI. Bog, maa han nøjes med her at behandle dette specielle Til- fælde for sig. Direkte anvendes Sætningerne 5. og 6. til i III, 35. og 36., at bevise Sætningerne om et Punkts Potens med Hensyn til en Cirkel; men bortset fra de i VI. Bog almindeliggjorte Fladeanlæg tager Euklid ikke i II. Bog Hensyn til de Former for geometrisk Algebra, som han derefter i X. Bog faar Brug for, men op- stiller dem først som Hjælpesætninger til denne (se Kap. XII). Praktisk udføres Figurflytninger ved mekaniske Teg ne redskaber. Det har derfor i denne Undersøgelse stor Betydning saa vidt muligt at komme til Kund- skab om, hvilke mekaniske Hjælpemidler man brugte i Tiden før Platon, og hvor- ledes man praktisk anvendte dem, før de dermed udførte Konstruktioner fik den theoretiske Betydning, som de har i Euklid’s Elementer. Brugen af Lineal knytter sig dertil, at en ret Linie uden at forandres kan flyttes fra et Sted til et andet. Før man lavede Linealer, brugte saavel Indere som Ægyptere en strammet Snor, Maalesnor, til Konstruktioner af rette Linier i Marken. Gjordes Maalesnoren fast i det ene Endepunkt, tjente den som Passer, og Længder lod sig derved maale og flytte fra et Sted til el andel. Vi har (S. 57 (255), Note) set, at Culbasütra’erne foreskrev