Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

67 Figurflytning hos Euklid. 265 disse. Mindst af alt vilde man nære nogen Tvivl om Gyldigheden af Beviser støt- tede paa en saadan Flytning, om hvis Mulighed man havde en paa Sanseoplevelser grundet intuitiv Vished. Disse Operationer var vel fra først af mest anvendte paa færdige Fladefigurer; men under Undersøgelsen af disse var man ogsaa kommen til al beskæftige sig med deres Begrænsninger, for retliniede Figurers Vedkommende med Sider, og, som vi senere skal se, efterhaanden ogsaa med Vinkler af forskel- lige Størrelser; rette Vinkler hørte ligesom Paralleler til de første Forestillinger, som allerede knyttede sig til Forestillingen om et Rektangel. De Beviser, som førtes paa Grundlag af saadanne Forestillinger, maatte i det hele være gode og tilforlade- lige nok til at forklare Platon’s Pris af Mathematiken i „Staten“, naar man tillige erindrer, at der allerede da existerede „Elementer“ ordnede saaledes, at man efter- haanden sikrede sig Rigtigheden af det, som man dernæst benyttede. Berømmelsen var dog en saadan, at den maatte tilskynde Mathematikerne til nøjere at prøve, i hvilken Grad den var fortjent, navnlig prøve, om en saadan Ordning var naaet, at man virkelig begyndte med de simpleste Forestillinger og fik alle Forudsætninger med, og ellers tilstræbe at opnaa dette. Derunder lærte man al formindske An- tallet af Forudsætninger og at stræbe at udelukke saadanne, som man ikke kunde give et bestemt Udtryk, og som derved vilde berøve Lærebygningen den rent ratio- nelle Karakter. Hvad der skulde gøres, maatte findes ved en Analyse af de mere eller min- dre sammensatte Forestillinger, hvorpaa man byggede som sikre Forudsætninger; de simpleste Forestillinger, hvortil man derved førtes tilbage, skulde danne en ny Række Forudsætninger, ved hvilke man gennem Synthese først og fremmest be- viste det, man tidligere havde bygget paa. Kravet herom er saa naturligt, at det ogsaa før den Tid havde gjort sig gældende og f. Ex. havde ført til det nysnævnte Vinkelbegreb. Da man nu var bleven sig dette Krav mere bevidst, var et Hoved- punkt, hvorimod det maatte rettes, Beviset for Existensen af de Figurer, hvormed man hidtil havde opereret, og den maatte bevises paa Grundlag af Paastande opstillede i Definitioner og Postulater om Existens af simplere Figurdele, rette Linier og Cirkler og visse Egenskaber ved disse. Med saadanne Existensbeviser begynder ogsaa Eu- klid den egentlige Behandling, lige efter at lian har opstillet Forudsætningerne. Han kan straks ved en med disse stemmende Konstruktion bevise Existensen al ligesidede Trekanter (1,1); han stiler dernæst henimod ved Konstruktion at bevise Existensen af rette Vinkler og af parallele Linier og bliver først derved i Stand til paa samme Maade at bevise Existensen af Rektangler og Kvadrater, det Materiale, der havde udgjort en saa vigtig Bestanddel af den ældre Geometri, og hvormed nu ogsaa han ad sin mere rationelle Vej har vundet Ret til derefter at operere i Slut- ningen af I. og som omtalt i hele II. Bog. Ved Siden af det, som Postulaterne indeholder, har han dog ogsaa Brug for det ved de „Almindelige Begreber“ karakteriserede Størrelsesbegreb, ior hvis An- vendelse paa Geometrien, der særlig banes Vej ved Nr. 7: „Størrelser, der dækker hinanden (ra er Iigestore‘‘. Man har — og dette gældei ogsaa 35*