Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

266 VIII. Kapitel. 68 mig selv i min „Mathematikens Historie“ — været tilbøjelig til at behandle dette Axiom, som om der stod „Størrelser, der kan bringes til Dækning“, altsaa det, som vi nu kalder kongruente Størrelser, der ved mekanisk Flytning kan bringes til Dæk- ning. Dette er det Hjælpemiddel, som Praktikeren bruger, det, som vi har set, at de ældre Geometre i Indien og Grækenland anvendte, eller dog tænkte sig anvendt, og som man ogsaa i den nuværende Skoleundervisning tænker sig anvendt som den første Prøve paa geometriske Størrelsers Ligestorhed. Det var naturligvis ogsaa dette, der i Virkeligheden gav Euklid Sikkerhed for, at der existerer praktiske For- hold, hvorpaa den Geometri, som han bygger paa sine Forudsætninger, kan anven- des; men som den gode Platoniker, han er, vil han skrive en Geometri paa Grund- lag af Forudsætninger, som han selv opstiller paa en saa selvstændig Maade, at de bliver uafhængige af de praktiske Forhold, hvorfra de er laante, og ikke alene be- regnede paa praktiske Anvendelser af Geometrien. Han tør altsaa kun anvende de Operationer, som han betinger sig ved sine Definitioner og Postulater, og i disse forekommer Ordet der baade kan betyde „anbringe“ (for at prøve om en „Dækning“ finder Sted) og „være i Dækning med“, ikke. Han kan altsaa ikke mekanisk anvende den ved den transitive Betydning af Ordet antydede Operation, men kun prøve, om Figurer, der kan tilvejebringes ved Konstruktioner, som stemmer med hans udtrykkelige Forudsætninger, er i den ved den intransitive Betydning angivne Tilstand. Det samme gælder om det ved „Almindelige Begreber“ 8. opstillede Kende- tegn paa Uligestorhed: „Det hele er større end en Del af det“. Der er kun Tale om en Tilstand og slet ikke om nogen Flytning, der skulde tilvejebringe denne Tilstand. Ogsaa dette Sammenligningsmidddel kan altsaa kun anvendes paa Figurer, der umiddelbart tilvejebringes ved de udtrykkelig foreskrevne og ene tilladelige Operationer. Disse er de Konstruktioner, som udføres ved ret Linie og Cirkel med de Egen- skaber, som tillægges dem i Definitioner og Postulater. Derimod maa man, som allerede bemærket, ikke sige: Konstruktion ved Lineal og Passer. Til saadanne mekaniske Redskaber henvises ikke; men Postulaterne 1. og 2. kræver kun, at den ved to Punkter eller et Stykke af en ret Linie bestemte, ubegrænsede rette Linie existerer, Postulat 3., at den ved Centrum og et Punkt (en forelagt Radius med Endepunkt i Centrum) bestemte Cirkel existerer, og Postulat 5., at lo rette Linier, der overskæres af en tredie saaledes, at Summen af de indre Vinkler paa dennes ene Side er mindre end to rette, liar et til denne Side liggende Skæringspunkt. Om Postulat 4. skal vi siden tale. Til at bevise Existensen af Skæringspunkter bruger Euklid foruden Post. 5. endnu et Hjælpemiddel, nemlig den Omstændighed, at en Linie, der forbinder el Punkt indenfor en lukket Kontur med et udvendigt Punkt, maa skære Konturen. For ikke alene at bygges paa Anskuelsen kunde dette Hjælpemiddel fortjene at være nævnt blandt Postulaterne; indirekte peges dog derpaa i Definitionerne 13.: „Grænse er det, li vortil noget naar‘> og 14.: „En Figur er det,