Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

69 Figurflytning hos Euklid. 267 om nu som indesluttes af en eller flere Grænse(linie)r“; Existensen af et Skæringspunkt ud- trykkes da ved Ordet „indesluttes“1). Vi skal nu se, hvorledes Euklid stræber at overvinde de Vanskeligheder, hvor- med det er forbundet, alene ved de her angivne Hjælpemidler at undgaa at henvise til en rent mekanisk Flytning. Bestræbelsen herefter vil forklare de Spring mellem forskelligartede Sætninger, som hans Ordning af Stoffet frembyder, og som kan støde Læsere i Nutiden. Den Hensigt at undgaa at gøre Brug af rent mekaniske Flytninger træder straks frem i Euklid’s første Sætninger, som vi har berørt S. 39 (237), da vi talte Menaichmos og hans Andel i den Begyndelse paa det euklidiske System, som skal beskæftige os. Efter i 1,1. at have angivet Konstruk- tionen og derved bevist Existensen af en ligesidet Trekant med given Side, er Euklid i Stand til konstruktivt i 1,2- at flytte et Liniestykke BC (Fig. 6) over til Stillingen AL med et givet Punkt A til Endepunkt. Del sker ved at konstruere den ligesidede Trekant2) ABD paa AB, dernæst ved Cirklen CG om B at føre BC over til BG i Forlængel- sen af DB og ved Cirklen GL om D al føre BG over som AL. I Praxis vilde næppe nogen gaa den Omvej, men benytte Flytning af begge Passerens Ben, der tilmed er ligesaa skikket til Flytning over i en helt ny Plan. Netop ved at man ikke nøjes med dette mekaniske Middel, træder Sætningens rent theoretiske Formaal tydelig frem. Da man ifølge Postulat 3. ved en Cirkel kan føre et Liniestykke over paa en anden Linie gennem dens ene Endepunkt, sætter 1,2. i Stand til at sammenligne to vilkaarlige Liniestykker i Pla- nen med hinanden og viser, at naar de er givne, er deres Sum eller Differens (1,3.) det ogsaa. Videre synes man imidlertid ikke at kunne komme ad denne Vej, som Euklid tilsyneladende forlader allerede i Sætning 4., hvis man, som en Nutidslæser kunde være tilbøjelig til, opfatter den som ensgældende med: To Trekanter er kongruente eller kan bringes til Dækning, naar de har en Vinkel og de hosliggende Sider stykkevis ligestore. Til en saadan Udsigelse af Sætningen synes Beviset endog, som vi skal se, at give nogen Berettigelse; men Euklid har en god Grund til ikke i Fig. 6. ’) Det er vildledende, naar Frøken Eibe her oversætter öpoq, Grænse, her nærmest Grænselinie, ved Omkres og taler om flere Omkrese. En Figurs Omkres'er efter Euklid kun én; men den kan bestaa af tiere Grænser (Grænselinier). — Som T. A. Heath bemærker (Euklid’s Elements I S. 235 ff.) er det Dedekind’s Postulat, som Euklid stiltiende bruger. *) ABD kunde lige saa gerne blot være en ligebenet Trekant, men for at sikre sig, at de til Kon- struktionen af en saadan tjenende Cirkler skærer hinanden, skulde Euklid da forud have opstillet de Betingelser, som Siderne i en Trekant maa tilfredsstille. Af samme Grund er det, at han ved Halve- ringen af en Vinkel i 9. og af et Liniestykke i 10. og ved Oprejsning af en vinkelret i 11. bruger lige- sidede Trekanter, hvis Existens han har sikret il. Da denne Forsigtighedsregel kun har theoretisk Betydning, er det ikke i’imeligt, at man har anvendt den ved den forud kendte (S. 65 (263)) praktiske Udførelse af de tre sidstnævnte Konstruktioner.