Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

71 Figurflytning hos Euklid. 269 direkte peger paa en mekanisk Flytning af en hel og uforandret Trekant, oversætter jeg overalt det intransitive fyappo&tv åm ved „dække“. I det første Participium i Medium fyappo&pévov maa Ordet derimod være taget i sin transitive Betydning, og denne Passiv har jeg oversat ved „er anbragt“, hvorved da underforstaas „nemlig for at prøve om der er Dækning“ ’). Endog denne sidste Oversættelse vil ikke und- lade al lede Tanken hen paa den Operation, hvorved Dækningen skulde opnaas, altsaa nærmest paa en Flytning. Det samme kan vel ogsaa siges om det græske Ord fyappo&tv i dettes transitive Betydning; men den gentagne Brug af dette Ord røber, at Euklid dermed har en udtrykkelig Hensigt, som i Betragtning af, at han ellers undgaar mekanisk Flytning, maa være den, foreløbig intet at sige om, hvorledes „Anbringelsen“ tilvejebringes. Deter nemlig først senere, al han fuld- stændig kan gennemføre den Konstruktion, som er det eneste Middel dertil, som han har betinget sig ved sine Postulater. Hvad der er bevist i Sætning 4., er, at denne Konstruktion, naar den engang lader sig iværksætte, og naar Beliggenheden af den „flyttede“ Figur er valgt, nemlig for Punktet A i Punktet D og for AB udad . DE, og hvor der maa være underforstaaet den Side af DE, hvor den „flyttede“ Fi- gur skal falde, at Konstruktionen da vil blive entydig. Dette følger af „Alm. Begr.“ 7. og 8.; navnlig 8. viser, at B da ikke kan falde inden- eller udenfor E, AC ikke inden- eller udenfor DZ o. s. v.; og det er dertil disse Axiomer bruges. Derimod synes Slutningsbemærkningerne om, at to rette Linier ikke kan indeslutte noget Fladerum, nogenlunde overflødig, idet Entydigheden af en ret Linies Bestemmelse ved to Punkter er underforstaaet i Postulat 1., saaledes som dets Anvendelser i Sæt- ningerne 1. og 2. allerede viser. Efter en mundtlig Meddelelse af Heiberg stemmer dog denne Bemærkning ikke med Euklids sædvanlige Fremstillingsform og turde være indskudt ligesom det dermed ligelydende Postulat, som man har tilføjet efter Euklids Tid. For al Sætning 4. kan faa sin fulde Anvendelse, kræves der allsaa en An- givelse af en Konstruktion af den Trekant med en given Vinkel og to hosliggende Sider i en ny Stilling, om hvilken det i 4. bevises, at den paa Beliggenheden nær da vil være entydig bestemt; Sætningen udtaler netop, at dens øvrige Stykker og Arealet da vil være bestemte. En Del af Konstruktionen er dog allerede angivet, nemlig Anbringelsen af en ret Linie af given Længde AB fra D udad DE, og dette *) Naar jeg her tager Afstand fra en Oversættelse af Heiberg, maa jeg straks tilføje min hjerte- lige Tak til ham for Gennemsyn og Berigtigelse, ikke blot som anført i Note S. 13 (211) af de fra Heise laante, men ogsaa af mine andre Oversættelser. De ovenfor opstillede Fordringer til Oversættelsen til- fredsstilles af T. A. Heath (I S. 247—48), hvor det intransitive fyappé&cv ém overalt gengives ved „coincide with“, é<pappo&p.évou ved „if (the triangle) be applied to“; men da der hverken forud eller her er sagt, hvorledes denne Anbringelse skal have fundet Sted, gaar han ud fra, at der her nødvendig- vis maa være tænkt paa en mekanisk Flytning. Han antager det dog S. 249 for muligt, at allerede Euklid var opmærksom paa de Indvendinger, som kan gøres derimod. løvrigt henvises til Meddelelse! som Heath, saavel her som i Noterne S. 224 ff. til „Almindelige Begreber“ 7. (der hos ham bliver til 4., da han kun medtager de utvivlsomt ægte Axiomer), giver om andre Behandlinger af de samme Vanske- ligheder, som her møder Euklid,