Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

270 VIII. Kapitel. 72 er sproglig betegnet ved her ikke at bruge Ordet é^appo^siv, hvis Anvendelse ikke er hjemlet ved Postulater og tidligere Konstruktioner, men det samme Ord „lægge“ som i Sætning 2. er knyttet til Forlæggeisen af et Liniestykke til et Sled, hvor det faar et nyt givet Endepunkt, og hvorfra det ved en Cirkel kan drejes ind paa en given Linie. Dette er blevet muligt derved, at allerede Definition I, 15. paa en Cirkel indeholder en Forudsætning om Størrelse. I at fuldføre Konstruktionen mangler endnu en Konstruktion af en given Vinkel med et givet Toppunkt og Ben og liggende til en given Side af dette. Denne Konstruktion sættes Euklid dog først i Stand til at udføre ved Hjælp af senere Sætninger, der støtter sig paa selve den i 4. beviste Sætning. Denne Ordning staar i Strid med den Fordring, som synes al maalle knytte sig til Menaichmos’ Anvendelse af Problemer med deres Konstruktioner som Beviser for Existensen af de Figurer, man undersøger eller benytter. De maa antages at skulle gaa forud for Anvendelser af disse Figurer og for de Theoremer, der udirykker deres Egenskaber. Saaledes gør Euklid ogsaa, naar han f. Ex. ved Konstruktion viser Existensen af et Liniestykkes Midtpunkt, før han benytter det. Og vi skal snart se historiske Beviser for, at man virkelig fastholdt denne Fordring. Dens logiske Be- rettigelse ses ogsaa i det her foreliggende Tilfælde, idet der først bevises, al 4. er rigtig, hvis man er i Stand til konstruktivt at udføre den i Beviset benyttede „An- bringelse“, og saa dog den dertil tjenende Konstruktion beror paa Sætninger, der bevises ved Hjælp af 4. Dette er en Cirkelslutning; men det er allerede noget, al denne logiske Cirkel af sig selv lukker sig. Derved er man sikret imod at indvikle sig i nogen Modsigelse ved i Beviset for 4. at forudsætte Muligheden af en „An- bringelse“ eller Flytning, og ved her at gaa ud fra denne blotte Mulighed at ud- lede den Fremgangsmaade, hvorved den skal virkeliggøres. Antagelsen af denne Mulighed er imidlertid en Forudsætning om, at „Rummel“ er saaledes beskaffent, at det tilsteder en saadan Flytning, at visse Størrelser „Flytningsinvarianter“: Af- stande, Vinkler og Arealer bliver uforandrede, eller at, som vi nu siger, Rummet har et „konstant Krumningsmaal“. Forudsætningen er saaledes et virkeligt Postulat eller Axiom, som Euklid stiltiende antager. Hilbert undgaar i „Grundlagen der Geometrie“ en saadan abstrakt og almindelig Antagelse ved den mere konkrete al opstille selve Sætning I, 4. som Axiom, en Udvej, som allerede Peletarius havde vist hen paa i In Euclidis elementa geometrica demonstrationam libri sex (1557), S. 15. I 8., hvor den Sætning, al to Trekanter, der har Siderne stykkevis ligestore, ogsaa har de ensliggende Vinkler ligestore, bevises antithetisk ved at antage et Par saadanne Vinkler ulige store, anvendes Ordet i(f>app.6&iv ganske paa samme Maade som i 4., og paa de tilsvarende Steder, for at omgaa en direkte mekanisk Flytning af den ene Trekant over paa den anden. At vor Forklaring til I, 4. og 8. ganske stemmer med den Opfattelse, som gjorde sig gældende paa den Tid, da Begyndelsen af Euklid’s Elementer blev til, fremgaar af en Kritik af 1,4. og af dette Theorems Plads, som netop maa skrive sig fra denne Tid. Den er bevaret ved Proklos (S. 241,18—243,20) efter en ældre