Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

272 VIII. Kapitel. 74 Idet det fremhæves, at Beviset kun bruger de „almindelige Begreber“ (særlig 7. og 8.), mindes der om en Mangel af et ved Postulater løst Problem, som skulde skaffe Figuren tilveje. I Stedet herfor bruges „Betragtningen af den samme Tre- kant i forskellige Beliggenheder“, der jo maa bero paa en Flytning; og det er ikke for at rose den, at den siges at „skyldes en sanselig og anskuelig Opfattelse“, selv om den undskyldes lidt ved Ordene „paa en Maade“. Naar Karpos tilføjer, at Problemerne dog gaar forud, maatte dette sigte til Euklid’s Sætninger 1.—3.; men disse er i Virkeligheden ikke tilstrækkelige til i 4. al udføre den Konstruktion af den flyttede Figur, som skulde erstatte Flytningen. Ved 1. og 2. flyttes vel Liniestyk- ket AB-, men den Konstruktion, hvorved Vinklen BAC skulde flyttes, kommer først senere (i 23.). Mon Kritiken ikke netop fra først af skulde have gjældt dette Punkt, og Karpos’ afglattende Bemærkning tilsidst bero paa en Misforslaaelse af den op- rindelige Kritik og være foranlediget ved, at der dog gaar nogle Problemer forud for dette første Theorem? Hvorledes dette sidste Spørgsmaal end skal besvares, ses del, at det, man be- klagede ved Beviset for 4. og ved 8., netop har været Brugen af en anskuelig Flyt- ning i Stedet for en rationelt begrundet plangeometrisk Konstruktion, og det stem- mer med, at Euklid overalt i det følgende for retlinede Figurers Vedkommende sætter en saadan Konstruktion i Stedet for anskuelige Flytninger. Han var sig alt- saa Kravet om dette fuldt bevidst og maatte i det hele tage Hensyn til alle de Krav, som var blevet gjort gældende i de Forhandlinger om den rette Begyndelse paa en Fremstilling af Geometriens Elementer, der efter vore forskellige Uddrag af Proklos var bievne førte mellem Mathematikerne fra Menaichmos til Eukkio. Man kan derfor vide, at Euklid vel har overvejet baade den Plads, hvorpaa han har stillet hver Sætning i første Bog, og hvert Ord i Udsigelsen af og Beviset for disse Sæt- ninger, særlig naar det gjaldt noget saa omstridt som Beviserne for 4. og 8. Der- for har vi ogsaa maattet og kunnet prøve selve Ordene i disse sidste Beviser. Vi skal nu give el kort Overblik over, hvorledes Euklid bygger videre, fore- løbig (or at naa til den Konstruktion, der skal helt overvinde den i 4. og 8. kun delvis overvundne Vanskelighed ved Flytning af retlinede plane Figurer. I 5. an- vender han det i 4. fundne Resultat til at bevise, at i ligebenede Trekanter Vink- lerne ved Grundlinien er lige store. Ogsaa i dette Theorem maa han endnu, imod Menaichmos’ Principer, forudsætte Existensen af ligebenede Trekanter, altsaa af Tre- kanter med givne Sider (som dog maa tilfredsstille visse givne Betingelser), førend han i et senere Problem beviser den. I 6. beviser han den omvendte Sætning. 5. benyttes i 7. til at bevise, at to Punkier A og B ikke kan være Toppunkter i to ligebenede Trekanter med en fælles Grundlinie, som helt ligger paa samme Side af den rette Linie AB. For denne Sætning har han Brug i det all omtalte antithetiske Bevis for Sætning 8., at to Trekanter, der har Siderne ligestore, ogsaa har Vinklerne ligestore og altsaa ifølge 4. selv er det. Hverken her eller i det følgende sammen- fatter han dette ved et om Flytning mindende Ord som vort „Kongruens“. Først efter senere at have talt om Ligedannethed, kan han sige „ligestor og lige-