Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

75 Figurflytning hos Euklid. 273 dannet“, hvor vi siger kongruent; herved er enhver Anvisning paa Flytning und- gaaet. Med 8. har Euklid vundet et konstruktivt Kendetegn paa, hvad ligestore Vinkler er, nemlig i deres Optræden som ensliggende Vinkler i Trekanter med samme Sider. For i 23. at bruge det til den almindelige Konstruktion af en flyttet Vinkel, det er her, hvor al Tale om mekanisk Flytning undgaas, af en Vinkel ligestor med en given, med Toppunktet i et givet Punkt og en given Linie gennem dette til Ben, maa han dog først i 22. give den almindelige Konstruktion af en Trekant med givne Sider; men forud for dette maa han finde Mulighedsbetingelsen for dette Problem, der uden Tilføjelse af denne Betingelse som Diorisme slet ikke vilde være noget Existensbevis. Elter den Orden, som han og senere græske Mathematikere følger, skal det forud for Problemet i et Theorem (20.) bevises, at den opstillede Betingelse er nødvendig; dens Tilstrækkelighed bevises ved Konstruktionen. Førend Euklid naar saa vidt, nøjes han med at anvende det i 8. vundne Kende- tegn paa mere specielle Tilfælde; men allerede i disse sætter det ham i Stand til at give Problemer og Theoremer den rette indbyrdes Ordning, hvad han jo nødtes til at forsømme i 4.—8. Han konstruerer saaledes i 9. og 10. en Vinkels Halverings- linie og et Liniestykkes Midtpunkt, før han tør forudsætte deres Existens og gøre Brug at dem i andre Sætninger. Og dette stemmer ganske med de almindelige Krav, som han stiller sig, og efter hvilke han ikke kan nøjes med Anskueligheden af, at der maa være en Halveringslinie og et Midtpunkt. Det gælder om, at de Vinkler, hvori den første deler den givne Vinkel, skal komme til at tilfredsstille del konstruktive Kendetegn paa Ligestorhed, som han endelig har kunnet opstille i 8., og ligesaa de Stykker, hvori Midtpunktet deler Liniestykket, Kendetegnene paa Ligestorhed mellem Liniestykker. Kendetegnet 8. sætter ham i Stand til de „Problemer“, hvorved det vises, at der virkelig er noget, som svarer til Definition lO.’s Bestemmelse af en ret Vinkel, del er en saadan, som er lig med dens Nabovinkel. Det sker ved de bekendte Konstruktioner af en ret Linie, som staar vinkelret paa en given i et givet Punkt af denne (11.) eller gaar gennem el givet Punkt udenfor den (12.) Noget vidtløftige forekommer os maaske nu Beviserne i 13. og 14. for, at Vink- lerne, som en ret Linie i el Punkt danner med en ret Linie paa samme Side af denne, tilsammen udgør lo rette, og at, naar omvendt Summen af to eller flere paa hinanden følgende Sidevinkler er to rette, de yderste frie Ben ligger ud i en ret Linie. En mulig Grund til Vidtløftigheden, særlig af Beviset for 14., skal vi snart berøre. 1 il de nævnte Sætninger slutter sig Sætning 15. om Ligestorheden af Top- vinkler. Sætning 15. benyttes i den nu paafølgende, mere di rekle Forberedelse af den Diorisme, som udtrykker Forudsætningen for, at tre opgivne Liniestykker kan være Sider i en Trekant. I 16. bevises, at Nabovinklen ACD til en Vinkel i en Trekant ABC (Fig. 8) er større end en hvilkensomhelst af Trekantens andre Vinkler, f. Ex. 4. Det sker ved til Midtpunktet E af Linien AC, hvis Existens er bevist i 10., at 36*