Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

274 VIII. Kapitel. 76 drage Linien BE og paa dens Forlængelse afsætte EZ -= BE. Da følger del al 4., at Vinkel A = ACZ < ACD. Samtidig medtages med Henblik paa den senere Paral- J7 z leltheori den af 16. følgende Sætning 17., at Suni- A\ men af to Vinkler i en Trekant er mindre end to ./ s' rette. 16. benyttes dernæst til at bevise (18.), at X// overfor den slørste af to Sider i en Trekant ABC, B c 11 hvor AC > AB (Fig. 9), ligger den største Vinkel; Fig-8. thi afsættes AD = AB paa AC, er ifølge 5. Vinkel ABD, som kun er en Del af Trekantsvinklen B, ligestor med ADB, som ifølge 16. er større end C. Den omvendte Sætning 19. udledes heraf ved et antithetisk Bevis. Til 19. knytter sig atter (i 20.) Beviset for, at (Fig. 10) en Side BC i en Trekant ABC er mindre end Summen / af de to andre /M h-zIC; thi afsættes AD = AC paa / Forlængelsen af BA, er (ifølge 19.) BD > BC. Skønt / Euklid dermed har naael at bevise Nødvendigheden af / Mulighedsbetingelserne for en Trekants Bestemmelse, B c ved sine tre Sider, føjer han dog dertil straks den al- 9- mindeligere Sætning (21.), al naar af to Trekanter med en fælles Side den ene lig- ger indeni den anden, er Summen af den indvendige 1 rekants to andre Sider b mindre end Summen af de to øvrige Sider i den udven- A dige Trekant. Af Hensyn til en senere Betragtning ind- y \ skyder vi her den Bemærkning, al af de to Sætninger / \ 20. og 21. følger umiddelbart de almindeligere, at, naar / \ en ret og en brudt Linie har samme Endepunkter, er \ den første mindst, og al, naar af lo brudte Linier mel- \ lem samme Endepunkter, der vender Konkaviteten til / \ samme Side, den ene ligger indenfor den af den anden / og den rette Linie mellem begges Endepunkter begræn- z —— - ■— sede Figur, er den inderste mindst, Sætning 20. sætter Euklid i Stand til at tilføje Mu- lighedsbetingelsen til Problemet 22. om en Trekanis Bestemmelse ved sine tre Sider og efter dettes Løsning at konstruere en given Vinkel paa el nyt Sled (23.). Mang- len fra 4. og 8. er altsaa nu udfyldt, og Flytningen af en Vinkel kan nu som tid- ligere Flytningen af et Liniestykke (2.) udføres ved en postulatbestemt Konstruk- tion. Da dette nu er vist en Gang for alle, kan derefter Euklid tænke sig en hvil- kensomhelst retlinet Figur flyttet hen til el andet Sted i Planen, saaledes f. Ex. at en Side fakler sammen med et givet dermed ligestort Liniestykke i Planen, uden at bygge paa en intuitiv Forestilling om en mekanisk Flytning. Derved sætles han i Stand til at fuldstændiggøre 4. og 8. med Sætningerne om Trekanter, der har lo Sider stykkevis ligestore, men (24.) den mellemliggende Vinkel1) eller (25.) den tredie i) I den bevarede Tekst er Beviset for 24. ufuldstændigt, idet Mulighederne ikke cr udtømte med Hensyn til den tredie Vinkelspids i den flyttede Trekant; denne Mangel er dog tidlig bemærket og udfyldt.