Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

77 Figurflytning hos Euklid. 275 Side ulige stor, og til i 26. under antithetisk Form at bevise, at en Trekant paa Beliggenheden nær er fuldstændig bestemt ved en Side og to Vinkler. Nu gaar Euklid over til Læren om Paralleler og den dermed forbundne om Vinkelsummen i en Trekant, og derved benytter han som bekendt det berømte 5. Postulat, i ældre Udgaver betegnet som det 11. Axiom. Undersøgelsen af dette Postulats principielle Betydning skal vi dog her forbinde med en Undersøgelse af Betydningen af det mærkelige Postulat 4.: alle rette Vinkler er ligestore; thi det maa være før det Sted i Euklid’s Elementer, hvortil vi nu er naaet, at der skulde kunne have været Brug derfor, og dog har vi i vor Gennemgang ikke fundet nogen Anledning til at omtale det. Tvertimod fremgaar det af Definitionen paa en ret Vinkel, at den er Halvdelen af en lige Vinkel, som vi nu kalder den, hvis Ben falder i hinandens Forlængelse, og at sige, at saadanne er ligestore, er det samme som at sige, at en ret Linies Forlængelse ud over et Punkt (Postulat 2.) er entydig bestemt. Euklid bruger ganske vist ikke Begrebet en lige Vinkel, som han i det hele ikke udstrækker sine Begreber til Grænsetilfælde (et Kvadrat er ikke et Rektangel osv.); men denne Vanskelighed vilde han ligesaa let her som andetsteds kunne omgaa ved Brug af et antithetisk Bevis eller lignende. Der synes alisaa ikke at have fore- ligget nogen Nødvendighed for at udtale den nævnte Paastand som Postulat, for i Sætning 14. deraf at slutte, al lo Vinkelsummer, der begge er to rette, er indbyr- des ligestore. Det er jo netop dette, der umiddelbart følger af Entydigheden af Postulat 2. Ved al se hen paa, hvad der umiddelbart findes i Euklid’s Beviser, har jeg derfor tidligere, nemlig i min Malhematikens Historie, ikke kunnet finde nogen anden Grund for Euklid til at opstille Postulat 4., som udtaler, at „alle rette Vinkler er indbyrdes ligestore“, end den, at han derved har villet pointere Enty- digheden af Postulat 2.; men saa skulde han ligesaa vel have pointeret Entydig- lieden af Postulat 1. Begge Dele ses imidlertid af Anvendelserne overalt at have været underforstaaet. Hvis man imidlertid vil betragte Opstillingen af Postulat 4. som en Uagtsom- hed, turde den her givne Forklaring være den rimeligste og vistnok den eneste, som kan knyttes til virkelige Anvendelser hos Euklid af Postulatet. Ved at se hen til den Omhu, hvormed hvert Skridt i Begyndelsen af første Bog er overvejet og forhandlet af kyndige Mathematikere, hvis Opmærksomhed var saa meget mere aarvaagen, som det behandlede Omraade var lille, bliver man dog mindre tilbøjelig til at tro, at en saadan Uagtsomhed kunde begaas, og begaas uden at blive anholdt. I Virkeligheden var Fristelsen til at anholde den og bevise Postulatet større end den til al godkende dets Opstilling som Postulat. Der er derfor Grund til at under- søge, om ikke netop den Omstændighed, at Euklid har stræbt at undgaa Brug af Figurflytning, kan have bragt ham til at opstille et Postulat, hvorved hans mere rationelle Geometri, i hvilken del i og for sig ikke savnes, bliver reelt identisk med den hidtil kendte, den, som benytter Flytninger. Man opfordres saa meget mere til at prøve dette, som vi af Euklid’s Behandling har set, hvor meget Besvær den Vanskelighed, som har bragt Hilbert til at opstille Euklid’s Sætning 4. som Axiom,