Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

276 VIII. Kapitel. 78 har voldt ogsaa ham. For at foretage denne Prøve maa vi undersøge „den Geo- metri“, som Euklid vil faa ud, naar han alene bygger paa Postulaterne 1.—3. Der- ved skal vi foreløbig ganske se bort fra, om vore Betragtninger ogsaa kunde til- lægges Euklid og hans samtidige, og blot tænke paa, hvad en konsekvent Videre- førelse af de Undersøgelser, som i Elementerne bygger paa de nævnte tre Postulater, vil give1)- Hvad der har voldt de Vanskeligheder, hvormed vi i del foregaaende har set Euklid kæmpe, er, at Anvendelsen af Størrelsesbegrebet paa geometriske Størrelser, først og fremmest Længden af begrænsede rette Linier, sker ved de „almindelige Begreber“ 7. og 8., som først kan anvendes, naar Størrelserne helt eller delvis dæk- ker hinanden, men at paa den anden Side denne Dækning ikke som en praktisk Maaling maa tilvejebringes ved en mekanisk Flytning, men ved Konstruktioner, byggede paa de tre første Postulater. Ved disse benyttes Cirkler. En saadan er ifølge Def. 15. „en plan Figur, indesluttet af én saadan Linie (som kaldes Periferien), at alle de rette Linier, der kan drages ud til den fra ét indenfor Figuren liggende Punkt, er indbyrdes ligestore“. Her lægger man først og fremmest Mærke til, at Cirkellinien, Periferien, bestemmes som Sted for Punkter med indbyrdes ligestore Afstande fra Centrum; men hvad „ligestore“ Afstande er, faar man først al vide i „Almindelige Begreber“ 7. Der er dog ingen Grund til al siødes over denne Orden; thi Brugen af Euklid’s Forudsætninger svarer her ligesaa lidt som andetsteds til den Orden, hvori de opstilles. Mangen en Definition forstaas først efter de senere Sætninger om, hvorledes det definerede tilvejebringes2). Derimod kunde man be- frygte en „circulus vitiosus“, naar de ved Ligestorhed af Radierne definerede Cirkler benyttes i de Konstruktioner, som tilvejebringer den Flytning, hvorved Ligestor- heden efter „Alm. Begr.“ 7. prøves. At Euklid’s Forudsætninger dog ikke danner en saadan logisk Cirkel, kan ses deraf, at de virkelig, som vist i del foregaaende, har kunnet benyttes til en rationel Opførelse af en Helhed, hvori baade Cirkler og Ligestorhed af Liniestykker faar deres bestemte Betydninger. Delte sker ved en Samvirken af de to paa for- skellige Steder opstillede Forudsætninger. Betragter man i Cirklens Definition Kravet om Radiernes Ligestorhed som gældende en endnu ikke nærmere forklaret Egenskab, hvorom kun vides, at den bestemmer Radiernes Endepunkter, er Cirklen foreløbig kun en lukket Kurve og Centret et saadant Punkt, at en Linie derigennem kun skærer Periferien i el Punkt paa hver Side af Centrum. Al det siges, at Ra- dierne er ligestore, og al man efter Postulat 3. med et hvilketsomhelst Punkt til *) Den Forklaring af Postulat 4., som vi derved erholder som et paakrævet Supplement til de andre 4 Postulater, er given af Lindemann i „Vorlesungen über Geometrie“ II, 1 (1891) S. 540 ff. Denne gaar dog ikke ind paa den Maade, hvorpaa Euklid i det enkelte benytter de Forudsætninger, som han opstiller; men han viser kun deres Sammenhæng med det, som karakteriserer projektivisk og metrisk Geometri. 8) Dette gælder f. Ex. i VII. Bog, i hvis Begyndelse vi har troet at se en Model for den senere synthetiske Ordning af andre Afsnit (se S. 24 (222)), om Definitionen paa „Dele af“ (se Oversigt 1910 S, 410). Det stemmer ogsaa med Aristoteles’ Anahjtica post. I, 10 (se S. 43 (241)).