Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

79 Figurflytning hos Euklid. 277 Centrum kan konstruere en Cirkel, som gaar igennem et hvilketsomhelst givet Punkt (det vil sige, at en saadan Cirkel existerer) giver dernæst et konstruktivt Kende- tegn paa, om Liniestykker med et fælles Endepunkt er ligestore. Dette giver dernæst (ved Euklid’s Sætninger I, 1.—3.) Kendetegn paa, om Linie- stykker, der ligger paa vi Ika arlige Steder i Planen, er ligestore, eller hvilket der er størst. Hermed bliver der stillet nye Krav til det System af Kurver i en Plan, som man skal have Lov til at kalde Cirkler. De Liniestykker, som ved Kon- struktioner med dem bestemmes som ligestore, skal nemlig ogsaa svare til det i de 6 første „Almindelige Begreber“ opstillede Størrelsesbegreb, deriblandt særlig tilfredsstille det første Krav, at naar to Størrelser er ligestore med en og samme tredie er de indbyrdes ligestore. Naar man saaledes i Sætning 1. konstruerer den ligesidede I rekant ABC ved Cirkler om A og B som Centre og med Radius AB, der skærer hinanden i Punktet C, skal Cirklen med C som Centrum, der gaar gen- nem A, tillige gaa gennem B, altsaa være underkastet en Betingelse foruden de nys- nævnte, og flere Betingelser vil komme til, naar C bliver betragtet som Vinkelspids i flere ligesidede I rekanter, eller naar man tillige tager Hensyn til Flytningssæt- ningen 2. Der synes nu at rejse sig det Spørgsmaal, om der overhovedet existerer et System al Kurver i Planen, der tilfredsstiller alle de Betingelser, som kræves af dem, som man efter de opstillede Forudsætninger vil kalde Cirkler, Dette Spørgs- maal kan imidlertid efter den Maade, hvorpaa Platon’s Efterfølgere dannede Postu- laterne, straks besvares med Ja. Det er sket ved en Analyse, Opløsning af forud kendte Sætninger i deres Elementer, og de sidste Elementer, de, fra hvilke man gaar ud i den synthetiske Fremstilling, er de, der opstilles som Definitioner og Po- stulater. De forud bekendte Sætninger, som man gaar ud fra, er saadanne, som man let kunde bevise ved Figurflytning, og som altsaa, som vi nu vilde udtrykke os, gælder for „den Geometri“, i hvilken Figurflytning er en tilladelig Operation, og som vi for Nemheds Skyld vil kalde den empiriske Geometri. Analysen skulde vel ifølge det Formaal, som man havde sat sig, helst naa til saadanne For- udsætninger, af hvilke man ogsaa uden Figurflytning kunde udlede de samme og nye Sætninger; men Sikkerheden for, at disse Forudsætninger ikke staar i indbyrdes Strid, altsaa overhovedet er mulige, følger af, at det efter deres Oprindelse paa Forhaand vides, at der existerer „en Geometri“, for hvilken de gælder, nemlig den „empiriske Geometri“. Et andet Spørgsmaal er del, om de samme Forudsætninger er tilstrækkelig snævre til at passe alene paa denne empiriske Geometri. At dette ikke er Tilfældet, skal lier først vises ved Betragtninger, som ikke stod til de gamles Raadighed. Holder man sig udelukkende til Postulaterne, maa der endog spørges, om der ikke existerer en almindeligere Geometri, hvis rette Linier alene defineres ved Postulaterne 1. og 2. og et til 5. svarende, om end ander- ledes begrænset Skæringspostulat. Dette vilde finde Sted i den Geometri, som F. Klein efterlyser i sit Erlangerprogram 1). Forudsætningen om, at de rette Linier, ‘) Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen 1872. Se ogsaa: lieber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie, II (Math. Annalen VI (1873)).