Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

278 VIII. Kapitel. 80 hvilke man i Euklids Elementer vil tillægge de ved de nævnte Postulater udtrykte geometriske Egenskaber, tillige skal være de empiriske, opstilles dog andetsteds, nemlig i Definition 4. paa en ret Linie. Naar denne siges at være en saadan Linie, hvis Punkter ligger é$ icrou, er dette uoversættelige Udtryk, der ligeledes bruges i Definitionen paa en Plan, vistnok, som P. Tannery liar begrundet1), et Laan fra den tekniske Prøve paa, om en Linie er ret, eller en Flade plan. Definitionen peger altsaa direkte hen paa den empiriske rette Linie. Naar den er traadt i Stedet fol- den, som Proklos (S. 108,6) tillægger Platon: den Linie, hvis Midte og Ender dækker hinanden (nemlig naar man ser henad den), er del maaske, fordi denne kun frem- hæver en enkelt af de Maader, hvorpaa man praktisk kan prøve, om en Linie er ret. De mangfoldige Forsøg, man har gjort paa at presse et geometrisk Indhold ind i Euklid’s Definition, turde derfor være ret betydningsløse, og hvad værre er, Navnet Definition, der senere har faaet en niere omfattende Betydning, end der kan tillægges mange af Euklid’s Definitioner, har bragt2) til at overse, at det, særlig for den rette Linies Vedkommende, er i Postulaterne, at man skal søge den egentlige geometriske Bestemmelse, nemlig Angivelsen af de rent geometriske Egenskaber, hvorpaa der i det følgende skal bygges. Dette ses deraf, at Euklid intetsteds gør nogen direkte Brug af den nævnte Definition. Hvad han derimod opnaar ved denne, det er at faa tilkendegivet, at det er paa den empiriske relic Linie, al han vil have anvendt alt det, som han derefter udtrykker ved eller kan udlede af sine Postulater. Del er da kun disse, som han benytter i sil geometriske System, og Anvendelig- lieden af dette beror paa, at de empiriske Linier har de i Postulaterne angivne Egenskaber, hvad Euklid forudsætter, eller, oin man vil: del afhænger af, hvor- vidt3) de har den. — Brugen af Linealen til at tegne og Hytte reite Linier hænger sammen med dens i Definition 4. udtrykte empiriske Egenskaber; men, som all be- mærket, har delte Redskab ikke umiddelbart noget at' gøre med den paa Postula- terne grundede Geometri. Ved den alt anførte Definition paa Cirklen sigter Euklid derimod ikke særlig til den empiriske Cirkel, men giver, som all anført, ogsaa nogle af Oplysningerne om dens Brug i det geometriske System. Delle turde hænge sammen med, at han foreløbig i Bog I—II ikke har Undersøgelser af Cirklen selv for Øje, men derimod en Anvendelse som geometrisk Hjælpemiddel („Symbol“, se IL Kap.) ved Under- søgelse af retlinede Figurer og til at slaa Størrelsesbegrebels Anvendelse paa Linie- stykker, Vinkler og Arealer fast; det er en Anvendelse af samme Art som den, der fra først af har foranlediget Indførelsen af Keglesnitslinier og af Archimedes’ Spiral. De Cirkler, der anvendes i de nævnte lo Bøger, har derfor, saalænge man nøjes med Postulaterne 1.—3., kun de Egenskaber, som fremgaar af Brugen af disse og af Definitionen, forsaavidt den forslaas i Overensstemmelse med det Begreb om 1) Revue des Etudes grecques, t. X (1897) p. 14. Mémoires scientifiques, II p. 540. 2) F. Ex. Enriques: Encyklopädie der math. Wissensch. Ill, 1. 3) Sinlgn. Hjelmslev: Lærebog i Geometri, eller: Vidensk. Selsk. Oversigt 1016, S. 181- 189.