Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

81 Figurflytning hos Euklid. 279 Størrelser af Liniestykker, altsaa ogsaa om Radiernes Ligestorhed, som, efter hvad vi viste, fremgaar deraf og af de „Almindelige Begreber“. For al faa fal paa de Egenskaber, som maa tillægges de Linier, der i den saaledes almindeliggjorte Plangeometri i Overensstemmelse med de Forudsætninger, som virkelig benyttes, maa kaldes Cirkler, vil vi tænke os to Planer « og a' og i den ene a, „den empiriske Plan“, operere med empiriske rette Linier og empiriske Cirkler og Afstande og i den anden a vel, i Overensstemmelse med Definition 4. paa en ret Linie, med empiriske rette Linier, men med Cirkler og Længder af Linie- stykker, som endnu ikke er underkastede de i Begyndelsen af Euklid’s I. Bog ube- nyttede Postulater 4. og 5. Vi kan lade fire Punkter A, B, C, D af a, af hvilke ikke he ligger i en ret Linie, svare til fire Punkter af med hvilke det samme er Til- fældet. Naar nu til enhver ret Linie i den ene Plan ogsaa skal svare en ret Linie i (len anden, faar vi en projektivisk Samsvaren mellem Punkterne i de to Figurer. Gaai man nu ud fra til hinanden svarende Punkter i de to Figurer og anvender tilsvaiende lineære Operationer, kommer man i a og d til nye tilsvarende Punkter. Ved Konsti aktionen al tre Punkter L',M',N' i d, som ligger i en ret Linie, kan man ogsaa delvis benytte Cirkler, nemlig ved Anvendelse af Pascal’s Sætning paa en Cirkel. De tie Punkter L,M,N, der svarer til ligger i en ret Linie, og til Sideine i den pascalske Sekskant svarer Linier, som danner en ny saadan, hvis Vinkelspidser ligger paa et Keglesnit, der svarer til Cirklen i d. Da nu den i Ord udtiykte Anvendelse af de Kurver, som i de to Geometrier kaldes Cirkler, er ganske den samme, vil det fundne Keglesnit være en „Cirkel“ i den udvidede Geometri. Som svarende projektivisk til Cirklerne i Planen a' maa Samlingen af „Cirkler“ i a være Keglesnit gennem to faste reelle eller imaginære Punkter E og F svarende til Cirkelpunkterne i d, Linien EF altsaa til den uendelig fjerne Linie i og „Cen- trene“ for disse „Cirkler“ vil være Linien EFs Poler. Naar nu Euklid, der jo ikke tænker paa al bygge en ny og almindeligere Geo- metri paa de geometriske Forudsætninger, han faktisk indskrænker sig til at benytte, vil have slaaet fast, at den virkelige Genstand for hans rationelle Tankebygning er den empiriske Geometri, kan det kun ske ved Tilføjelse af nye Postulater. De maa paa den Maade, han kunde det, udtrykke, al Punkterne E og F er de uendelig fjerne Cirkelpunkter. Hertil hører tørst og fremmest, at Linien EF er den uendelig fjerne Linie i Planen, eller at det, som han kalder parallele Linier, netop er de empiriske Paral- leler. 1 ildels er delte allerede udtrykt i Def. 23 paa parallele Linier som saadanne Linier i samme Plan, der kan forlænges i det uendelige til begge Sider uden at skære hinanden; men i det væsentlige vilde man opnaa det samme ved en Begræns- ning, som under en eller anden Form udtrykte, at Operationerne ikke udstrækkes til den Del af Planen, hvor den Linie, vi har kaldt EF, ligger. Hvis man uden at ane den fulde Rækkevidde af de beskrevne Operationer, der ved Brug af de omtalte Keglesnit i Stedet for Cirkler i Virkeligheden bliver projektiviske, fik med Skærings- punkter med denne Linie al gøre, vilde disse Operationer føre til Resultater, der I). K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd,, 8. Række, I. 5. 37