Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

280 VIII. Kapitel. 82 vilde forekomme Euklid ganske absurde: Linestykker, hvis konstruerede Midtpunkt ligger i det ene Endepunkt eller paa Forlængelsen, Vinkler mellem rette Linier, som skærer hinanden, der ifølge Konstruktionen bliver 0 eller negative (o: optræder som Subtrahender i Stedet for Addender og omvendt). Saadanne Absurditeter undgaar Euklid dels ved faktisk at holde sig til en Figuranskuelse, der bunder i en empi- risk Opfattelse af Plangeomelrien, dels ved den nysnævnte Definition paa Paralleler. Derved bliver han i Stand til at bevise den ene Parallelsætning (1,27), nemlig at to Linier bliver parallele, naar de overskæres af en tredie, saaledes at de enslig- gende Vinkler er ligestore. I modsat Fald vilde man nemlig faa en Trekant, hvor en udvendig Vinkel var ligestor med den indvendig modsatte, medens det i 16. er bevist, at den er større. Det Tilfælde, hvor denne Forudsætning vilde blive ugyl- dig ved en konsekvent Gennemførelse af de beskrevne Konstruktioner, udelukkes nemlig ved den i Definitionen paa parallele Linier udtrykte Forudsætning. At dette kan opnaas gennem en negativt udtrykt Definition, beror paa, at Beviset for 27. føres antithetisk. Derimod maa der en positiv Forudsætning til for at begrunde denne Sætnings Modsætning, al der virkelig existerer el Skæ- ringspunkt mellem to rette Linier, naar de overskæres saaledes af en tredie, at de ensliggende Vinkler ikke er ligestore. Og her er det Euklid’s (eller hans nærmeste Forgængeres) store Fortjeneste at have set, at en saadan Forudsætning ikke er en Følge af dem, han alt har opstillet, men al en ny er nødvendig. Da har han valgt al opstille den nævnte Paastand selv som Postulat. Den omtalte Nødvendighed er dog allerede den logiske Følge af hans hele Behandling. Konstruktioner ved Hjælp af rette Linier beror nemlig lige saa meget paa, at man kan bestemme et Punkt ved lo rette Linier, som paa, al man kan bestemme en ret Linie ved to Punkler, og det er kun undtagelsesvis, at Euklid i en foregaaende Sætning (21.) har kunnet paavise Existens af Skæringspunkter mellem rette Linier derved, at en Linie, (ler forbinder et indre Punkt af en Fladefigur med el ydre, maa skære Konturen (S. 68 (266)). Hermed har man den Euklidiske Paralleltheori, som i Tidernes Løb har fristet saa mange til at forsøge al bevise den Paastand, som den mere klartseende Euklid har fundel det nødvendigt al gøre til el Postulat. Om dettes Tilbliven freingaar det af nogle af de af Heiberg (S. 18) anførte mathematiske Steder hos Aristoteles (65 a 4, 66 a 11, 74 a 13), at man da var begyndt at faa Blik for de Vanskeligheder, denne Theori kan frembyde, men ikke endnu havde overvundet dem. Som Kende- tegn paa Parallelismen brugte man vel ogsaa da Ligestorheden af el Par ensliggende Vinkler fremkomne ved Overskæring med en tredie Linie; men man synes hverken at have bevist Tilstrækkeligheden, som det sker ved Euklid I, 16., eller al have set, at Nødvendigheden maatte slaas fast ved et Postulat. Man var dog bleven sig bevidst, at her forelaa el Savn. Parallelspørgsmaalet er altsaa allerede sal under Debat paa samme Tid som de øvrige Spørgsmaal, som ligger til Grund for Behand- lingen af Begyndelsen af første Bog. Menaichmos har da rimeligvis ogsaa hall det for Øje ved sine Forslag til Behandlingen af denne Begyndelse. Ved Definitionen paa Paralleler og ved den Forbindelse, hvori denne sælles