Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

83 Figurflytning hos Eukiud. 281 med det i alle Tilfælde uundværlige Konstruktionsmiddel, som gives i Postulatet I, 5., har Euklid faaet slaaet fast, al i den Geometri, hvorpaa han anvender sine iøvrigt vidererækkende Postulater 1.—3., er den Linie, vi i vor Prøvelse af disses Række- vidde har kaldt EF, uendelig fjern. Den Brug af Anskuelsen, som han heller ikke nægter sig, vil ogsaa medføre, at de for alle „Cirklerne“ i hans Figurplan a fælles to Punkter E og F er imaginære, eller at de paagældende Kurver er ligedannede og ligedan beliggende Ellipser; men videre kan man ikke komme, naar man ude- lader Postulat 4. og ikke tillægger Ligestorhed og Uligestorhed af Liniestykker og af Vinkler eller „Cirkler“ anden Betydning end den, som det lykkedes at fastslaa uden mekanisk anskuelig Figurflytning. Hvert Ord af Euklid’s første Bog bliver, naar Postulat 4. udelades, ogsaa anvendeligt paa en Plangeometri med saadanne Ellipser i Stedet for Cirkler, en Plangeometri, hvis Sætninger kunde udledes af den sædvanlige empiriske Plangeometris ved Parallelprojektion fra en Plan til en anden. Der behøves altsaa endnu et Postulat eller en Definition, svarende til Definitionen 4. paa en ret Linie, til at indskrænke den paa de øvrige udtrykkelig opstillede Forudsætninger byggede Geometri til al omfatte empiriske Cirkler, som man (med Tilnærmelse) kan tegne med Passer, og i hvilken Ligestorhed af Liniestykker eller Vinkler er den, som kan prøves ved mekanisk Flytning. Hertil vil det være nok al slaa fast, at en af hans „Cirkler“ er en empirisk Cirkel, og dermed de alle, eller at to af hans „rette Vinkler“, hvis Ben ikke er stykkevis parallele, er virkelige empiriske rette Vinkler, det er saadanne, som mekanisk kan bringes til Dækning med deres Nabovinkler. Dette sidste Krav opfylder Euklid (ganske vist paa en Maade, der siger mere end del strengt nødvendige), naar han i sit Postulat 4. siger, at alle rette Vinkler er liges tore, forudsat, at lian dermed mener, enten at han om de Vinkler, der ifølge hans Sætninger og Konstruktioner og rationelle Beviser har frembudt sig som rette, vil forudsætte, at de ogsaa ved mekanisk Flytning kan bringes til Dækning, eller omvendt, al de Vinkler, der ad mekanisk Vej kan konstateres at være ligestore med deres Nabovinkler, altsaa rette, ogsaa er ligestore efter de Kendetegn paa Lige- storhed, som Bogens rationelle Fremstilling fører til. Tages Prøven derimod i Postulatets Subjekt og Prædikat fra den s a ni me af disse lo geometriske Opfattelser, saa er Paastanden ikke noget Postulat, men en Sætning, der er let at bevise. Op- fattet derimod, som jeg her først har gjort det, opfylder Postulat 4. netop det nys- nævnte Krav. Medens vi her har fundet dette ved at tale om den „almindeligere Geometri“, som man vikle have, naar dette Postulat mangler, har Euklid og hans Forgængere sikkert kun tænkt paa at opføre en Geometri, der fra Indholdets Side skulde falde sammen med den empiriske. Det er dennes første Elementer, han har villet udtrykke i sine Definitioner og Postulater, og med stor Skarpsindighed, for- bunden med Forsigtighed, har han paa Grundlag af disse opført sine Sætninger uden i sine Beviser at gøre noget Laan fra en Forudsætning om Flytning; lian har jo ikke engang uden Bevis villet forudsætle noget saa anskueligt som Existensen af et Liniestykkes Midtpunkt eller en Vinkels Halveringslinie. Det vilde ikke være 37*