Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

282 VIII, Kapitel. 84 utænkeligt, at man under et saa omhyggelig udført Arbejde paa en eller anden Maade var bleven opmærksom paa, at de saaledes dannede Sætninger har en større Rækkevidde end den, der gælder for den empiriske Geometri. Allerede paa Me- naichmos’ Tid kendte man vistnok saa meget til Ellipser som Snit i Cylindre, al man kunde faa Blik for den Udvidelse til Brug af ligedannede og ligedan belig- gende Ellipser i Stedet for Cirkler, som overtydede os om Behandlingsmaadens større Rækkevidde; men en saadan Betragtning har ganske vist ikke efterladt Spor blandt de faa Beretninger, som vi har om det store Forarbejde paa Elementerne, der er gjort i Tiden fra Menaichmos til Euklid. Under de dertil knyttede Forhand- linger kan der dog nok have været Lejlighed til Tvivl om, hvorvidt det saglige Indhold af den Lærebygning, som man var i fæ rd med al opføre med saa stor Kunst, ganske dækkede den empiriske Geometri, hvis Sætninger man i tidligere Tider havde godtgjort ved rigelig Brug af mekanisk Figurflytning. At Grundene til en saadan Tvivl vilde bortfalde ved at opstille, eller maaske ved at beholde Postulat 4., som der, hvad vi straks skal se, kan have været andre Grunde til al opstille, har det ikke været svært at overbevise sig om. Er Sagen gaaet saaledes til, kunde man dog maaske ogsaa hos Euklid savne en Paavisning af, at Postulat 4. nu ogsaa er tilstrækkeligt til al indskrænke Om- raadet til i Virkeligheden kun at omfatte den empiriske Flytningsgeometri. En saadan Paavisning var dog ikke at vente i Euklid’s Elementer. Som gældende For- bindelsen med mekaniske Flytninger maatte den i nogen Maade knyttes til disse; men dem er del netop, han har villet holde uden for sin Lærebygning. Det er ham nok, ved Definition 4. og Postulat 4. at have opnaaet, at Lærebygningens Resultater netop gælder den sædvanlige Geometri, hvis Størrelser maales ved Flytninger; men disse skal ikke udgøre en Del af selve Lærebygningen. I denne gøres derfor heller ingen Brug hverken af Definition 4. eller af Postulat 4.; de nævnes blot forud som en begrænsende Angivelse af del Omraade, for hvilket Lærebygningen skal gælde. Hermed har vi set, baade at Euklid’s Postulat 4. indlager en logisk vel grundet Plads, og at der foreligger logiske Grunde til, at der dog i Bogen ikke forekommer direkte Anvendelser deraf. Vil man saa dog fastholde, at det skyldes en tilfældig Fejltagelse eller Misforslaaelse, maaske den, jeg tidligere har prøvet at give som Forklaring og berørt S. 77 (275), saa er dets Medtagen dog et Tilfælde, (ler ligner en Tanke. Naar Euklid netop har sagt, hvad der efter hans Formaal burde siges, har man saa Lov at tvivle om, at han og de, der før ham saa omhyggelig har drøftet disse Spørgsmaal, ogsaa selv har tænkt de Tanker, der kommer frem i Bogen? — om de end ikke har givet dem den Skikkelse, i hvilken jeg har forsøgt at tænke dem efter. — Dette Spørgsmaal lader sig i alt Fald ikke helt afvise. Det kan dog have nogen Interesse al prøve, om ikke Postulatet kan have spillet en noget anden Rolle før Euklid og særlig i den Drøftelse, som gik forud for den endelige Skikkelse, som han gav Elementerne. Skønt det i disse kun op- træder som en Baggrund, der — hvad enten det nu tilsigtedes eller ikke — sikrede den euklidiske Geometris Tilknytning til den empiriske Geometri, kan dets Fore-