Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

85 Figurflytning hos Euklid. 283 komst og den Skikkelse, det har, maaske pege tilbage paa en tidligere niere direkte Anvendelse. I den Henseende skal vi bemærke, al Definition 4. paa en ret Linie giver An- visning paa at anvende en Lineal til materielt al tilvejebringe de i Postulaterne 1. og 2. krævede rette Linier gennem to Punkter eller som Forlængelse af en given. Sætning 2. har paa den anden Side vist, al man endnu har betragtet Passeren som et saadant mekanisk Instrument, paa hvis Anvendelse til al bestemme ligeslore Liniestykker man ikke turde bygge en rationel Geometri. Anbringelsen af Postu- lat 4. iblandt Postulaterne peger hen paa, at man har tænkt sig dette anvendt til Konstruktioner. Det udtales netop, at enhver ret Vinkel kan tilvejebringes som Kopi al en en Gang for alle tilvejebragt Norm, del er ved en Gnomon (S. 65 (263)). Har denne ved Siden af Linealen været det Redskab, som jævnlig anvendtes af Pythogo- reerne ved deres theoretiske Undersøgelser, saa kan man endog foreløbig have givet den et Fortrin for den frie Brug af det da mere moderne tekniske Instrument, Tegnepasseren. Har nu dette været Tilfældet, saa har Brugen af Gnomon kunnet hjælpe ud over de Vanskeligheder, som Indledningen til Geometrien foraarsagede. Del har da ikke været umuligt, at man, som det S. 38 (236) anførte Uddrag af Proklos kunde tyde paa, har forsøgt at stille Tilvejebringelsen af et Kvadrat ved en Konstruktion i Spidsen for Lærebygningen ved Siden af Konstruktionen af en ligesidet Trekant. Ganske vist kunde man da ikke straks bevise, at i den i et saadant Problem kon- struerede Figur alle Vinkler var rette, alle Sider ligeslore; del maatte i Overens- stemmelse med den siden Menaichmös forlangte Rækkefølge forbeholdes senere Theoremer. Til hurtigere al naa delle vilde det bidrage, at Sætning 4., naar Bru- gen af Gnomon hævdedes i et Postulat, ikke mere vikle volde Vanskelighed, naar de to Trekanters ligeslore Vinkel var ret, og let føre til den Konstruktion af en flyttet Vinkel, som foreløbig savnes i Euklid’s Bevis for den almindelige Sætning 4. Hvorledes man i det enkelte bar sig ad, maatte bero paa, hvorledes den i Po- stulat 4. antagne Flytning af en ret Vinkel blev anvendt til Konstruktionen af et Kvadrat, hvad der kunde ske paa flere Maader. Har nu virkelig Menaichmös gjort en saadan Brug af Postulat 4., saa skylder man Euklid, der ganske undlader at bruge Postulat 4. i sine Konstruktioner, et stort systematisk Fremskridt, nemlig Reduktion af alle de i hans rationelle System forekommende Konstruktioner til saadanne, der alene bygges paa de øvrige Postu- later og praktisk vilde udføres ved Lineal og Passer. Dette Fremskridt vilde opveje den Afvigelse fra den gode Ordning af Problemer og Theoremer, som Citatet al Karpos har vist os, at man paatalte i Oldtiden. Euklid liar dog været forsigtig nok til at lade Postulat 4. blive staaende. Hertil har der, som vi har set, været god Grund, hvis han ikke uden videre har villet have den ved Passeren teknisk erholdte Ligestorhed af Radierne i en dermed tegnet Cirkel godkendt som gyldigt theoretisk Grundlag for sine Undersøgelser. Lige- saa godt som al admittere den til Brug af Gnomon knyttede theoretiske For-