Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

89 Ligedannede Figurer og Proportioner. 287 søgelser1) ved vi dog kun lidt, fordi de derved vundne Resultater i Euklid’s V. Bog fremtræder i den almindeligere Skikkelse, som Eudoxos gav Proportionslæren, og som i Tilslutning dertil Euklid i VI. Bog har givet Læren om ligedannede Figurer. Del nylter heller ikke at vise hen Lil Euklid’s VII.—IX. Bog, i hvilke man, da Talen her kun er om Forhold mellem hele Tal, har troet at finde den Form, som man før Eudoxos’ Tid har givet Proportionslæren. Indskrænkningen til hele Tal hid- rører nemlig ikke fra Hensynet til den Simplifikation i Beviserne for Proportions- sætninger, som disse tillader, men fra Hensynet til den Anvendelse, som her skal gøres til at føre exakte Beviser for Theaitet’s i Euklid X, 9. opstillede Kriterier for Rationalitet eller Irrationalitet af Rodstørrelser, og som forklarer den Plads, disse arithmetiske Bøger har faael i Geometrien (Oversigt 1910). Disse Bøger er i ligesaa høj Grad prægede afog for Begyndere vanskeliggjorte ved Theaitet’s forsig- tige Skarpsindighed som V. Bog af Eudoxos’ geniale almindelige Synspunkt. Der- imod vil mange af de i alle de her omhandlede Bøger (V—IX) indeholdte enkelte Sætninger have været kendte før de nævnte nærmeste Forløbere for den platonisk- euklidiske Omdannelse til en rationel Lærebygning, men da begrundede med min- dre Omsigt og Forsigtighed og i mindre Almindelighed. Fra den pythagoreiske Tid kender vi dog et vigtigt Hjælpemiddel, som dels opstod under Behandlingen af ligedannede Figurer, dels gjorde stor Nytte ved disses videre Undersøgelse, nemlig Vinkelbegrebet; men dets Opstaaen og Udvikling vil vi helst omtale for sig i et særligt Kapitel (X.), til hvilket vi derfor nu ind- skrænker os til at henvise. Med hvor stor Sikkerhed og Klarhed en højt begavet Mathematiker kunde be- handle ligedannede Figurer, derunder ogsaa de med disse forbundne Vinkler, paa en Tid, da hverken Eudoxos endnu havde behandlet Proportioner fra sil almindelige Synspunkt, eller Platonikernes Analyse havde opløst den almindelige Ligedannethed i Sætninger om Ligedannethed af de simpleste retlinede Figurer, ser vi af det op- bevarede Fragment af Hippokrates fra Chios (Oversigt 1913, S. 442—456). Naar han udenvidere antager, at Cirkler forholder sig som Kvadraterne af deres Diame- tre, allsaa som de omskrevne Kvadrater, gør han kun det samme som de mange, der før ham har søgt at bestemme Værdien af dette Forhold. Idet to Cirkler er ligedannede, maa man ogsaa af dem ved Korder kunne afskære ligedannede Afsnit, og ifølge ligedannede Figurers almindelige Egenskaber maa dels disse staa i samme Forhold til de hele Cirkler, dels de deri indskrevne Vinkler være ligestore. Dette er, hvad Hippokrates opstiller som Udgangspunkt for sin Afhandling, og det gaar ikke ud over det, som enhver, der har en almindelig Forestilling om ligedannede Figurer, vil tillægge disse uden at have nogen Tvivl om sin Paastands Rigtighed. Man behøver derfor ikke at antage, at Hippokrates skulde have været i Besiddelse ’) At man ogsaa ad denne geometriske Vej kan komme til en exakt Proportionslære, har Molle- bup vist i Mathematische Annalen 56 (1902); først dens Forbindelse med den arithmetiske Proportions- lære kræver en Anvendelse af Eudoxos’ Postulat. D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række. I. 5. 38