Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

288 IX. Kapitel. 90 af saadanne Beviser for disse Paastande, som vilde have tilfredsstillet de Krav, man stillede i Perioden fra Platon til Euklid, ja i Betragtning af det Arbejde, som det har voldt at opføre en geometrisk Lærebygning, hvori disse Krav er opfyldte, er det endog kun lidet sandsynligt, saa meget mere som Gennemførelsen af et saadant Bevis for de ligedannede Afsnits Proportionalitet med Cirklerne maatte blive meget vidtløftigt og gaa om ad ligedannede Udsnit. Saadanne omtaler end ikke Euklid, og hans Omtale af Cirkeludsnit indskrænker sig til en Definition, medens han ud- førligere behandler Cirkelafsnit. Medens den almindelige Forestilling om ligedannede Figurer og deres alminde- lige Egenskaber endnu dannede Udgangspunktet for saa indgaaende Undersøgelser som Hippokrates’, maatte den euklidiske Behandling omvendt gaa ud fra de „Ele- menter“, hvori man efter de platoniske analytiske Principer opløste denne alminde- lige Viden. Vinkler, derunder deres alt berørte Anvendelse til Bestemmelse af Pa- ralleler, samt Forhold, deres Ligestorhed og Uligestorhed, Proportioner, deres Om- dannelser og Kombinationer, maatte først studeres; først derefter kunde man be- nytte dem til Definitioner paa ligedannede Figurer og til nu ved Konstruktion at sikre sig det, man tidligere gik ud fra som selvfølgeligt, nemlig, at der existerer saadanne Figurer som de definerede. Disse Existensbeviser og de dermed forbundne Betingelser for Ligedannethed maatte man begynde med Anvendelsen paa Trekanter for derefter at hæve sig til ligedannede retlinede Figurer i Almindelighed, om hvilke der i VI. Definition 1. siges, at det er saadanne, der har Vinklerne stykkevis lige- store og de i Forhold til disse ensliggende Sider proportionale. Del almindelige Existensbevis føres i VI, 18. ved Løsning af følgende Opgave: Paa en given ret Linie (del er: et givet begrænset Liniestykke) at tegne en retlinet Figur, som er ligedan- net med en given retlinet Figur, og i hvilken Liniestykket er ensliggende med en given Side i den givne Figur1). Efter at Exislensen af Figurer, svarende til hans Definition paa Ligedannethed, saaledes er bevist, kan Euklid dernæst bevise de øvrige Egenskaber, som man efter den almindelige Forestilling ogsaa vil tillægge saadanne, nemlig, at Forhold og Vinkler mellem ensliggende Diagonaler og Sider ogsaa er ligestore, og, idet han begynder med Trekanter (VI, 19.), al Figurerne selv forholder sig som ensliggende Siders Kvadrater (VI, 20.). Da Euklid’s Definition paa Ligedannethed kun gælder retlinede Figurer, har han ingen Anledning til at sige, at to Cirkler altid er ligedannede; men lian beviser i XI, 2., at de forholder sig som Kvadraterne paa Diametrene, ved at betragte dem som Grænser for ligedannede indskrevne Polygoner; Grænseovergangen sker i den af Eudoxos angivne Form. Derimod giver han allerede paa el tidligere Sted, nemlig i III. Bog, følgende Definition 11. paa ligedannede Cirkelafsnit: at del er saadanne, der ruminer ligestore Vinkler, eller, tilføjer han, i hvilke Vinklerne er ligestore. 3 De sidste Ord skal udtrykke, hvad Euklid kalder b[joiu><s xetfievov. Det er vildledende, naar Frøken Eibe oversætter disse Ord ved „ligedan beliggende“, da herved efter den vedtagne danske ma- thematiske Sprogbrug betegnes noget andet, som slet ikke vilde passe lier; der siges nemlig intet om, at de opgivne til hinanden svarende Liniestykker skaj være parallele.