Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

91 Ligedannede Figurer og Proportioner. 289 Denne sidste Definition siger dog ikke meget, idet han ikke opgiver noget andet Maal paa Afsnittets Vinkler, hvormed menes de, der dannes af Korden og Buen; de maa nemlig, som vi skal se senere, ikke, som vi nu gør, identificeres med Vink- lerne mellem Korden og Tangenterne i dens Endepunkter. Tilføjelsen er derfor snarere en Paastand om, at ogsaa disse blandetlinede Vinkler er ligestore paa de to ligedannede Afsnit. Benævnelsen ligedannede bruges dog om Afsnit kun i III, 23. og 111,24., som tilsammen gaar ud paa, at ligedannede Afsnit paa samme Korde eller paa ligestore Korder er kongruente. Allerede disse Sætninger viser, at fraset Beliggenheden de Afsnit, som kaldes ligedannede, er ens paa Maalestokken nær, og kan altsaa, uden al der dog siges noget derom, i nogen Maade forklare Berettigelsen af at bruge samme Benævnelse „ligedannet“ i III. Bog om Afsnit og i VI. Bog om Polygoner. Overensstemmelsen mellem de to Anvendelser af samme Ord træder endnu lydeligere frem ved den, som finder Sled mellem de i III, 33. og i VI, 18. løste Opgaver, idet begge Steder den ligedannede Figur bestemmes ved, at et givet Linie- stykke skal være ensliggende med et bestemt Liniestykke i den givne, nemlig Af- snittets Korde i 111,33. og en Side i Polygonen i VI, 18. I den første af disse Sæt- ninger nævnes vel Ordet ligedannet ikke, men af Definitionen III, 11. fremgaar det, at Talen er om Konstruktion af saadanne, der for forskelligt Valg af Korden bliver ligedannede, idet der paa et givel Liniestykke forlanges konstrueret et Cirkelafsnit, som rummer en Vinkel lig med en given. I 111,34. bestemmes dernæst den Korde, der af en given Cirkel afskærer et Afsnit, der — efter Definition 111,11. — bliver ligedannet med et givet. Dette kunde nærmest tjene til Existensbevis for de af Hippokrates betragtede ligedannede Cirkelafsnit; men at disse er proportionale med Cirklerne naar heller ikke Euklid at bevise, hvad han sikkert vikle være i Stand til at gøre i XII. Bog; men han har betragtet det som en Enkeltopgave, der ikke henhører til, og som vilde være for vidtløftig al tage med i „Elementerne“. Delte havde han dog næppe forsømt, hvis, som liere har antaget, allerede Hippokrates havde ført cl formell Bevis derfor i sine Elementer. Idet Euklid ikke har kunnet udtale en almindelig Definition paa Ligedannet- hed, (ler ogsaa omfatter alle krumlinede Figurer, og af hvilken han dernæst maatte kunne udlede alle de Egenskaber, som er fælles for ligedannede Figurer, har han maattet behandle de forskellige Arter hver for sig, navnlig retlinede Figurer i VI. Bog og Cirkelafsnit i III. Bog, men Afgørelsen af, hvilke han i ethvert Tilfælde vikle kalde ligedannede, maatte bero paa den samme almindelige, men ubeskrevne Forestilling, hvorpaa Hippokrates byggede, og del er i Henhold til denne, at ogsaa Læseren billiger hans Valg af denne fælles Benævnelse. Det har sin Interesse at undersøge, om Euklid i andre Skrifter eller hans Efterfølgere i den Henseende er naaet videre. Af hvad Archimedes i sil Skrift om Konoider og Sfæroider siger om ligedannede Ellipser og i Indledningen til dette Skrift om ligedannede Konoider og Sfæroider kan man se, hvorledes man paa hans Tid definerede ligedannede Keglesnit ’) Se XVII. Afsnit af min Keglesnitslære i Oldtiden. Det er mig en vis Tilfredsstillelse her at kunne konstatere den fulde Overensstemmelse mellem de Betragtninger, jeg den Gang knyttede alene til 38*