Matematikkens Historie I

16. Almindelig Proportionslære; Euklid V og VI. 127 Sætning 23, som udsiger, at naar a : b = e \f og b : c ~ d : e, er a : c = cl : f, bevises paa samme Maade og er paa samme Maade forberedt ved 21. I disse Sætninger siges Forholdet a : c at være sammensat af Forholdene a : b og b : c. Opfatte vi det antike Forhold som et moderne Tal, ses det, at det af to Forhold sammensatte Forhold er det samme, som man nu kalder deres Produkt. Skjønt der er tillagt de Forhold, som sammensættes, bestemte Former, idet det enes Efterled skal være det andets Forled, vil dette ikke gjøre nogen Indskrænkning i Sammensætning af Forhold. Det vil nemlig af den geometriske Fremstilling i 6. Bog 12 ses, at ethvert Forhold kan omdannes saaledes, at et af dets to Led faar en opgiven Værdi. Af 6. Bog 23, hvor det bevises, at Forholdet, mellem 2 Parallelo- grammer med samme Vinkel er sammensat af Sidernes Forhold, vil det ogsaa ses, at man netop giver disse sidste Formerne a : b og b : c for at sammensætte dem. Naar dette allerede her tages med i Betragtning, . ville 22 og 23 indeholde fuldstændige Beviser for de Paastande, som man nu vilde udtrykke saaledes: Et Produkt er bestemt ved sine Faktorer, og Fak- torernes Orden er ligegyldig. De gamle havde altsaa to forskjellige Fremstillinger af det, som man nu uafhængig af, om Faktorerne ere rationale eller irrationale, kalder deres Produkt, nemlig nærværende og den i den geometriske Algebra benyttede ved Rektangler. At det virkelig er væsentlig det samme, som fremstilles paa de to Maader, ses af den nys an- førte 23. Sætning af 6. Bog. Fremstillingen ved sammen- satte Forhold forbinder en væsentlig- Fordel med sin