Matematikkens Historie I

20. Exhaustionsbeviset; Euklid XII. 151 end ikke er denne, men en anden urigtig Løsning, der forud for Beviset gives i den nu foreliggende Text. Her haves vel ikke en Række Tilnærmelsesværdier til Kuglerne; men Exhaustionsbeviset lader sig dog føre som tidligere. Ere nemlig A og B de givne Kugler, a og b deres Radier, og er C en med B koncentrisk Kugle bestemt ved A : C == a3 : b3, kan man, hvis C<B, i B indskrive et Polyeder B', som helt indeslutter C, og i A et dermed ligedannet Polyeder A'. Disse benyttes dernæst paa samme Maade som de Størrelser, vi kaldte A' og B' i det tidligere førte Exhaustionsbevis. For at komme til fuld Klarhed over Exhaustions- bevisets logiske Værd vil det være nyttigt at sammen- holde det med moderne Betragtningsmaader. Om de gamle end netop undgaa saadanne Benævnelser som Grænseværdien for en uendelig Tilnærmelse, er det dog i Virkeligheden, som anført, saadanne, som man be- stemmer ved Exhaustionsbeviset. Det ér endog det exakte Grænsebegreb, som lægges til Grund for den hele Undersøgelse, idet der udtrykkelig fordres, at Til- nærmelsen (en endelig) skal kunne drives saavidt, at Tilnærmelsesværdiens Afvigelse fra Grænseværdien bliver mindre end enhver opgiven Størrelse. Exhaustions- beviset er et exakt, antithetisk Bevis for denne Bestem- melsesmaades Entydighed, eller for at to Størrelser, der paa denne Maade blive Grænser for de samme Til- nærmelsesværdier, blive lige store. Det er et nødvendigt Led i enhver fuldstændig Infinitesimalundersøgelse. Det er fremdeles intet andet end et saadant Led, hvorfor man kan sige, at hvor der er Exhaustionsbevis, der er