Matematikkens Historie I

7. Cirklens Kvadratur. 65 til at undersøge, om en Vinkel i Trekanten er spids, ret eller stump, betragtes som vel bekjendt, ligeledes den Sætning, at Cirkelarealer forholde sig som Kvadra- terne paa-Diametrene. For denne Sætning kan man dog ikke endnu have kjendt det Euklidiske Bevis eller overhovedet noget, hvis Form vilde tilfredsstille de senere græske Mathematikere. Udgangspunkter for et i Realiteten rigtigt Bevis kan man dog have haft i saadanne Be- tragtninger som dem, Antifon misbrugte. En Længde som r har let kunnet konstrueres, hvad enten det nu er sket ved, paa den i Afsnittet om geometrisk Algebra omtalte Maade, at omdanne et Rektangel med Siderne r og | r til et Kvadrat eller ved Anvendelser af den Pythagoræiske Sætning. «Indskydningen» mellem C D og Cirklen af Linien E Z — r ]/^, der for- længet gaar gjennem B, afhænger af en Ligning af 2. Grad, som vi ganske vist antage, at man den Gang kunde løse ved geometrisk Konstruktion. Det er dog, som vi snart skulle omtale, muligt, at den er udført anderledes. De forskjellige Forsøg paa at kvadrere Cirklen ved Lineal og Passer mislykkedes, og det er i den nyeste Tid bevist, at de maatte mislykkes. Kravet paa en exakt Løsning, der efter den Tids Fordring gjennem Konstruk- tion skulde føre til en geometrisk Fremstilling, kunde derfor kun tilfredsstilles ved Indførelse af andre Kurver end ret Linie og Cirkel. Det kom ikke herved særlig an paa, om saadanne Kurver let lode sig fremstille mekanisk, endnu mindre paa at bestemme dem ved en diskret Række Punkter, der jo netop kun vilde give en Til- nærmelse. Hovedsagen var derimod, her som i andre lignende Tilfælde, i en exakt Definition at have et mathe- matisk sikkert, theoretisk Grundlag for Bestemmelsen, 5