Matematikkens Historie I

11. Den analytiske Methode. 83 hvad der før sagdes om Dannelsen af det synthetiske Bevis, ogsaa føres ved Skridt for Skridt at gaa tilbage gjennem de benyttede Ligninger i modsat Orden. At et saadant Bevis ikke i og for sig ej? overflødiggjort ved den foregaaende Analyse, vides af saadanne Tilfælde, hvor man ved at opløfte til Potens har bortskaffet et Rodudtryk. Hvis der med dette mentes en enkelt af Rodens Værdier, f. Ex. den positive Værdi af en Kva- dratrod, vides det, at man da kan indføre fremmede Opløsninger. I Stedet for et Bevis for Rigtigheden giver Prøven da et Bevis for Urigtigheden af disse sidste Rødder. Analysen alene lader saaledes Muligheden aaben for fremmede Løsninger. Er Løsningen forud bekjendt, kan den og dens Bevis meddeles alene synthetisk; men derved er en anden Ulempe. Er Opgaven saaledes Ligningen x2 — a x 4- b = 0, eller en Opgave, der ved at sættes i Ligning vilde ud- trykkes saaledes, kan man synthetisk meddele, at a , / /a \2 æ = 2+V U) ~b- og ved Kvadratrods-Tegnet forstaa den positive Kvadrat- rod. Prøven eller det synthetiske Bevis fører til, at denne Løsning er rigtig; men man ser ikke, om den er den eneste rigtige. Hvad her er paavist om algebraisk Løsning gjælder almindelig: Analysen alene kan give for mange Opløsninger, Synthesen alene for faa. Endnu skulle vi undersøge, paa hvilket Punkt af den fuldstændige Behandling Mulighedsbetingelserne frembyde sig. Man plejer nu tildags at knytte dem til den fuldstændige Tilendebringelse af den formelle Op- løsning, som man da diskuterer. I det nysnævnte 6*