Matematikens Betydning og Anvendelse

153 indestå, forat alle verdens matematikere skulle give dem ret i deres meninger. Men er dette i og for sig umuligt o: er der en absolut umu- lighed at ordne punkterne i kvadraterne såle- des, at det ene får det dobbelte antal punkter af det andet — hvilket jeg med lethed skulde bevise her på stedet, hvis det var umagen værd at opholde sig derved — lad dem så drage den rette følgeslutning deraf*). Og for at lette dem vanskelighederne ved visse punkter som i. ex. at forstå, at et rum har uendeligt mange dele og dog kan gjennem- løbes i en kort tid, gjøre man opmærksom på, at de ikke må sammenligne så uforholdsmæs- sige gjenstande som de uendeligt små dele ined den korte tid, hvori de gjennemløbes, men man må sammenligne det hele rum med den hele *) At det er umuligt at danne to kvadrater på den af Pascal omtalte måde, bevises således. Antag, at antallet af punkter i kvadratets side er n, så består fladeindholdet af n2 punkter. Et kvadrat, der skulde indeholde dobbelt så mange punkter, altså 2n2 punk- ter, måtte have en side, der var således beskaffen, at når antallet af punkter i samme sættes lig x, man har: x2 = 2n2. Men ifølge aritmetiken existerer der intet helt tal x, hvor man har denne relation; den fører nemlig til| — j =2, som er umuligt, da intet helt eller broddent tal existerer, der kva- dreret er lig 2.