Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

96 Meddelelse XII. Om Løsningen af Clapeyronske Ligninger. Af Docent P. M. Frandsen. M. Ing. F. Den specielle Form af Elasticitetsligninger, der gaar under Navnet Clapeyronske Ligninger, er først frem- kommen ved Bestemmelsen af Understøtningsmomenterne som de overtallige ved en kontinuerlig Bjælkerække paa faste, simple Understøtninger. Et langt større Anven- delsesomraade har de dog i den nyeste Tid faaet ved Behandlingen af plane, flerfoldige Rammesystemer (Vierendeeldragere) og dermed beslægtede Problemer. For kontinuerlige Bjælker er der til Løsning af Ligningerne angivet grafiske Metoder af Claxton Fiedler, Mohr o. a., og analytiske af Maurice Lévij. Disse Frem- gangsmaader er alle baserede paa Bestemmelse af Slut- liniepolygonen. I Løbet af de sidste Par Aar har Mann1) og Bleich2 * 4) behandlet Formen -|- kYr + Yr+i = Ar, hvor k er en konstant, sotn Differensligninger med konstante Intervaller efter Markoff. Endvidere kan nævnes Reich 8) og Freytag*). Et Forsøg paa at gennemføre lignende Betragtninger paa Ligningerne i deres almindeligste Form5 6 *), altsaa med vilkaarlige Intervaller, skulde nedenstaaende være. Inden jeg gaar til den stillede Opgave, skal jeg dog fremdrage nogle Hjælpesætninger, som for en Del vil være almindelig kendte. Hjælpesætning I. Ved en Bjælke, som er paavirket af et endeligt Antal parallelle Enkeltkræfter•••• P(r_i;, Pr> P(r+i)---- i endelige Afstande og med de givne Abscisser- xr, x(r+I)'---, maalt vinkelret paa Kraftlinierne, haves følgende almindelige Relationer mellem Kræfterne P, Momenterne- • •Y(r-i), Yr, Y(r+I)- • • i Punkterne- • -(r—1), r, (r + !)• • • og Transversalkræfterne - • • Qr, Q(r+i)- • • i Fagene- • • (r — 1) — r, r — (r + !)• • • og Y(r-l) ~ Yr _ Yr-Y(r+1) — i r. 11 X(r—i) — Xr Xr X(r+1) Reaktionerne er parallelle med Kræfterne P. Om Udledelsen henvises f. Eks. til Ostenfeld: Tek- nisk Statik I, 2. Udg. p. 36, hvis Fortegnsdefinition ogsaa er bibeholdt. Den sidste Ligning kunde skrives: — Yr Yr — Ytr-n) x(r-l) Xr Xr Pr ---------------------------- =----------------= — pr. II a X(r—1) x(r+l) x(r—1) — x(r+l) For en kontinuert Belastning p — f (x) havde man faaet: *) »Zeitschrift für Bauwesen. 1909. ä) >Der Eisenbau« 1910 (ogsaa som Særtryk). ’) »Vierendeelträger mit parallelen Gurten«, Wien 1911. 4) »Gesetzmässigkeiten in der Statik der Vierendeelträger«, Mün- chen u. Berlin 1911. 6) For den ovenfor nævnte specielle Form har jeg angivet en Tilnærmelsesberegning i >Tekn. Tidsskrift« 1909. svarende til I : dy dx - Ila: CL i Q. II ■e Naar Momenterne-Yr, ¥(r+i,-• - • opfattes som Funktionsværdier for Argumenterne-••-Xir-i), xr, - af en i Tabelform opgiven Funktion, hvor Rækkefølgen af Argumenter med tilhørende Funktions- værdier angives ved den Orden, hvori Kræfternes An- grebspunkter passeres ved at gennemløbe Bjælkens Midt- linie, kaldes I og II a for de dividerede Differenser henholdsvis af 1. og 2. Orden af de givne Funktions- værdier- • • • Y(r_i;, Yr, Y(r+ij- • • •— Kraften Pr er altsaa den ikke dividerede Differens af 2. Orden, medens den dividerede Differens af 1. Orden er lig med Transversal- kraften Qr med modsat Fortegn. Hvis Belastningen derimod er given, tjener I og II a til Bestemmelse af Momenterne og kaldes paa Grund af Analogien med Ligningerne for kontinuerlig Belastning Differensligninger. Da Kræfterne Pr som Regel er de givne Størrelser, gaar man dog altid ud fra II i Stedet for II a. I er altsaa en lineær ikke homogen Differensligning af 1. Orden, II en lineær ikke homogen Differensligning af 2. Orden; men begge repræsenterer de to Arter i en meget speciel Form. Almindeligere Former vil træffes i det følgende. Den grafiske Løsning af II sker som bekendt ved Tovpolygonen. Ved Beregning løses II bedst som en Interpolations- opgave, hvor man af de givne ikke dividerede Differen- ser af 2. Orden - • • •?(,._!), Pr, P(r+i)- • • • skal bestemme Funktionsværdierne for de givne Argumenter-•• Xp, X^+i)• • • • Da Antallet af dividerede Differenser af 2. Orden er 2 mindre end Antallet af Funktionsværdier- •• •Y(r_1), Yr, Y(r+i)• • • -, maa man paa Forhaand kende Funktions- værdierne for to af Argumenterne for at kunne løse Opgaven. Dette svarer til Konstantbestemmelsen ved alm. Integration. Beregningen sker ved successiv Anvendelse af New- tons Interpolationsformel1), hvori efterhaanden ind- føres de bekendte dividerede Differenser af 2. Orden : Pr X(r-l) — Xr For Argumenter, som ligger mellem-•• •X(r_1j, xr, X(r+i)- • • • finder man Funktionsværdierne ved at gentage den dividerede Differens af 1. Orden, som jo er kon- stant i Intervallet mellem to Kræfter, og interpolere til det nye Argument. De her anstillede Betragtninger fører i og for sig ikke til særlige Lettelser ved de almindelige Moment- beregninger for Enkeltkræfter ud over den rent praktiske at have et bestemt Skema at regne efter. Derimod kan *) Om denne anvendt for vilk. Differenser, samt om dividerede Differenser henvises til T. N.Thiele : » Interpolationsrechnung«, Leipzig 1909.