Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16
År: 1917
Forlag: Trykt hos J. Jørgensen & Co. (Ivar Jantzen)
Sted: København
Sider: 663
UDK: 378.9 Pol
Særtryk Af Afhandlinger I Ingeniøren Og Teknisk Tidsskrift Samt Fortegnelse Over Andre Arbejder
Søgning i bogen
Den bedste måde at søge i bogen er ved at downloade PDF'en og søge i den.
Derved får du fremhævet ordene visuelt direkte på billedet af siden.
Digitaliseret bog
Bogens tekst er maskinlæst, så der kan være en del fejl og mangler.
98
Men ifølge Hjælpesætning I er;
Y(r_i) - Yr Yr — Y(r+1)
Tï, — ’
X^r—1) Xr Xr
saa at man har:
Yr - Br = 1 /Y(r-l) — Yr _ Yr- Y<r+1)\
1 1 \ X(r—1) Xr Xr
a,- ’ br.
eller
(JL + n (Yr _ Br) = Y<-’> - Y- - Y- - Y^). III
yar' ^r'/ —1) Xr Xr X(r-j-i)
Naar man heri efterhaanden lader r an-
tage Værdierne l,2,3---n, fremstiller Udtryk-
ket en lineær ikke homogen Differensligning
af 2. Orden, som adskiller sig fra II ved at inde-
holde et Led med den til Argumentet xr svarende Funk-
tionsværdi Yr, samt den til samme Argument svarende
Funktionsværdi Br af en med Yr beslægtet Funktion.
Ifølge Sætningen om Knudepunktsmomenternes
Ligestorhed har den Funktion, hvortil Yr hører, og den,
hvortil Br hører, samme Værdier for Argumenterne
* * • Xr', • • • •
Af Sætning III følger ogsaa, at hvis der i et Fag
ingen Kraft 7T virker, har de lo Funktioner samme
Værdier for alle de Argumenter, som svarer til Punkter
af vedkommende Fag.
Af Fig. 3 og 4 fremgaar, at man almindeligt har
ar' + (r-1)’ — a(r—1)' +
eller
ar' —- ((r —1)' 0(r—1)') IH
samt
xr’ = Xr 4- br’ = Xr + (Ir-ar’) III b
Og
]r. = ar’ + br'. III c
Hjælpesætning IV.
Hvis man kendte Funktionsværdierne-• Yr-,
Y(r4.i)>• ■ • •, svarende til Argumenterne- •• •X(r_i,>, xr,,
kunde man bestemme-•• Br, Bjr+i,---
ved en simpel Interpolation, som omtalt under Hjælpe-
sætning I, idet de dividerede Differenser af 1. Orden er
konstante i Intervallerne - • -(r — 1)' — r', r' — (r + !)'•• •
Altsaa :
?
+
Yfr ir-Yr. Br
Xjr-ij. — Xr.
IV
hvilket er en lineær ikke homogen Differens-
ligning af 1. Orden i Y, og som adskiller sig fra I
ved sin almindelige Form.
Ligning IV kan omformes til:
sættes heri:
IV a
og altsaa:
faas :
__krBr ~|-
~ (1 + kr)
Ved at indføre det analoge Udtryk for Y(r_i)<,
Y(r_2)> • • • heri faas, idet Yo. = 0 :
■ k1B1
• • 1 + ki
Altsaa en opstigende Kædebrøk, som let ud-
vikles i følgende Række1):
Y — krBr I k<r-l)B(r-i)________________________k(r—2)B(r—2) ___________________klB1______________y
1 + kr (1 + kr) (1 + k(r_i)) (l+kr) (1-|- k(r—i}) (1—|-k(r—a;) (1+kr) (1 +k(r—1>)-• • • ( 1 -f- kJ
Denne Række er for alle de her tænkte Anvendelser stærkt konvergent.
For at bringe ovenstaaende Sætninger til Anvendelse paa Elasticitetsligninger af Clapeyronsk Form
omformes disse, som i deres almindeligste Skikkelse lyder:
M M M
T 13 -O
3 3 3
c/ C/ O'1
s 3 B
CO la
Il II II
er c/
to
+ +
cz cy ex
to te jo
w io ►-*
+ +
Kl
CJ cc
cy cz
w w
CO la
+
p"
w
m8ni, (n—1) —
SPm8m,n =
ved en simpel Omregning til:
SPn>8m, i —(80,i 4- bu H- 82,1) Y]
^Pni^m, 2 --- (81,2 “F 82,2 ~|- 83,2) Ya
Y(n— 2j8(n —2), (n-1) + Y(n—l)b(n—1), (n-1) + Ynbn, (n—1)
Y(n—l)^(n—1), n 4“ Ynbn, n
=(Y0 — Y!) bo.i - (Yi — Y2) b2>1
= (¥! — Y2) b1>2 — (Y2 — YS) &3,2
(n—1) (8(n—2), (n——1), (n—l)~i”8n, (n—1)) Y(n—jj — (Y(n—2) 1)) b(n_2), (n—1) (^(n—1) ’ ^n) ^n, (n—1)
n (8(n—1), n 4"&n, n H- n) Yn = (Y(n—1) Yn) 8(n— 1), n (Yn Yfn-j.]}) n .
*) Omtalt af Nørlund i »Note om en opstigende Kædebrøk«, Nyt Tidsskrift for Mathematik, B, Aarg. 1909.