Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

113 Meddelelse XV. Om Opløsning af 5-Leds-Ligninger ved Beregning, med Anvendelse paa kontinuerlige Dragere med elastiske Understøtninger. Af Professor A. Ostenfeld. Ligesom de bekendte Clapeyron'ske optræder ogsaa de i Overskriften nævnle Ligninger ret jævn- ligt ved den statiske Undersøgelse af kontinuerlige Konstruktioner, først og fremmest ved kontinuerlige Bjælker paa elastisk forskydelige Understøtninger, men dernæst ogsaa i andre Tilfælde, f. Eks. ved Vierendeel-Bjælker, ved Undersøgelse af aabne Broers Sidestivhed o. fl., idet man ikke sjældent kan redu- cere tilsyneladende mere sammensalte Ligninger til rene 5-Leds-Ligninger. Der er angivet 3—4 for- skellige grafiske Konstruktioner til Behandling af disse Ligninger, men hidtil ingen Beregningsmaade, der tillader at opskrive de ubekendtes Værdi efter en færdig Formel; en saadan kan imidlertid meget godi fremstilles, saaledes som det skal blive vist i del følgende, den bliver ikke overdrevent kompli- ceret (i Betragtning af Opgavens Natur), og i Sammenligning med grafisk Konstruktion har en Formel altid det Fortrin, at den direkte fører til Influensliniernes Ligninger, saa man ikke behøver at be- stemme disse Linier Punkt for Punkt. Vi forudsætte Ligningerne af den ganske almindelige Form (med vilkaarlige Koefficienter): 2^ + 3. II a W t« S* t© to ta + + + J3" =? J5- + + + co ta + + II + H 5» s« II (1) to + + + + II 1 Q to i- ? o Ï s ? 3 + + o o a a I I — to I I N5 tC + + f ï Ï Il II Î Î •— to det karakteristiske er, al hver Ligning kun inde- holder 5 paa hinanden følgende ubekendte, den næstførste og næstsidste kun 4, første og sidste kun 3. I og for sig er der ikke nogetsomhelst nyt eller mærkeligt ved den folgende Beregningsmaade; del hele drejer sig ikke om andel end at give Elimina- tionen en saadan Form, at Endeformlen kan frein- træde i en for den praktiske Anvendelse overkomme- lig Skikkelse. Den nedenfor angivne Fremgangs- maade fører ganske naturligt ogsaa meget simpelt til Maalet for Clapeyron'ske Ligninger*). Man begynder med at omforme Ligningerne (1) paa følgende Maade. Af de to første dannes ved Elimination afA^ en ny Ligning, der kun indeholder -Xg, X3, ved Hjælp af den første og den nævnte nye Ligning elimineres X, og X2 af tredie Ligning, saa den kun kommer til at indeholde Ar3, Xi, X5, og ved al fortsætte saaledes erstatter man de givne Ligninger med el nyt System, hvori (1er i hver *) I den nye Udgave af min .Teknisk Statik« II, som f. T. er under Arbejde, er Metoden ogsaa anvendt paa disse Ligninger. Ligning kun indgaar tre paa hinanden følgende Ä’er (men som dog ikke er et almindeligt Clapeyron’sk Ligningssystem). Første Ligning skrives i den Anledning: hvor : Og il 74 1 61 (3) og naar A\ fra (2) r?' i -C to A = ß1-D1’ indføres i 2den Ligning, faas: ■ ^9 xr i ^9 . tr ^2 ^2 ] S som med 1 Betegnelserne: kan skrives: cT I .CM OJ (3 a) 2 ^2 % (4 a) II ä + CO e” + (2 a)