Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

451 Spændinger og Formforandringer, for en hvil- ken som helst statisk bestemt eller ubestemt Gi tter ko n s t ruk tio n, og for øvrigt ogsaa for et hvilket som helst ela s ti s k L ege m e, saaledes som det nu skal blive vist. For et vilkaarligt elastisk Legeme lyder Udtrykket for det virkelige Deformationsarbejde: Ai—i (°xEx H-GySy + Gzez + Txy<pxy + ryzcpyz +Tzx<pzx) dV ------- cn X to + cn to + cn S to + ? I Q 1 i « bO ! 4" &- 4- e- + (12) idet ö og t betegner Normal- og Forskydningssp'æn- dings-Komposanterne, e og (p de tilsvarende absolutte Maal for Formforandringerne, e — ex -f- ey + Ez og dV Volumenelementet. Endvidere er det virtuelle Defor mation s- a rbejde: Av = j(ÖxEx-|-OyEy+Gz.ez+Txy<Pxy4-Ty7.Cpvz + Tzx(pzx) (IV, (13) der adskiller sig fra (12), dels ved at Faktoren her mangler, dels ved at exdx o. s. v. her betyder virtuelle Form forandringer. Naar et saadant Legeme er paavirket af en Række ydre Kræfter P, foregaar der en Formforandring, hvor- ved det vilkaarlige Punkt (x, y, z) faar Forskydningerne (ux, uy, uz), og Kraftangrebspunkterne gennemløber Vejene up i Kræfternes Retninger; Størrelserne s og <p udtryk- kes ved bekendte Relationer som Funktioner af For- skydningerne ux, uy, uz. Vi anvender nu Ligning (1) med de virkelige Kræf- ter P og tilsvarende Spændinger <5, r, idet vi som For- skydninger indfører de Tilvækster til de virkelige Be- vægelser (ux, uy, Uz, • • • ■ up), som fremkommer, naar een af Spændingskomposanterne O eller r i et vilkaar- ligt Punkt faar en uendelig lille Tilvækst, eller almin- deligere, naar en Størrelse S, af hvilken disse Spæn- dingskomposantpr afhænger, faar Tilvæksten dS. Herved faas analogt med (6): x-.,^up 1/ frßx , bev , , b<Pzx\ , , bs J + • ’ ' + bs ) S<1V- (14) Heri er venstre Side ligesom ovenfor lig ^^Au^dS, OS og ved at differentiere det sidste af Udtrykkene (12) partielt med Hensyn til S findes: Størrelserne t og <p er ligefrem proportionale ligesom S og As ved Gitterkonstruktionerne ovenfor, saa: — TXy, Gcpyz ~ TyZ, • • • • ; derimod gælder det samme ikke for Normalspændin- gerne, idet man her har : E« = ’ (Gx - * 1 * * * (öy + Oz)) = 1 ((in + 1) Ox _ s) 111 ni r. og de analoge, hvor s = øx -|- öy + idet endvidere ni = 2K+~1)E’ bliver „ _ m s 2Gex = ——-—- Eex — Gx — og de annloge, m -J- 1 m + 1 og ved Addition : 2Ge ____ 2G(Ex-f-Ey-|-e7,)_ox-f-Oy + Gz 3s m — 2~ ni — 2 — m — 2 (m — 2)(m+l)— m — 2 \ m -f- 1 y m -|- 1 og følgelig ved Indsættelse i (15): bAi___ f / s \ 8ex / s \ bsy bS J \ m -|-1 / bS \ °' m +1 / bS ~*~ I S &(£x + Ey + Ez) ö<pxy I + m + l bS +(Tïy&S +••••)] dV- bex , bev &<Pzxl J pbs- + Oy bs + ’ ’ ’ ' + Tzi3s"J dV’ og delte er netop, paa Differentialet dS nær, lig højre Side i (14). Denne Ligning reduceres følgelig ligesom ved Gilterkonstruktionerne til: cz 13 er I (16) Denne Betingelse er det nu, som benyttes i Ritz’s Metode til Tilnærrnelsesløsning af elastiske Problemer. Naar et elastisk Legeme er paavirket af givne ydre Kræfter, og det drejer sig om at bestemme f. Eks, For- skydningerne ux, uy, uz som Funktioner af Koordinaterne, har man som bekendt hertil dels et System af partielle Differentialligninger, dels en Række Grænsebetingelser ude ved Legemets Overflade. Den mest nærliggende Fremgangsmaade er saa at søge Differentialligningerne integrerede og dernæst at bestemme de ved Integratio- nen indkomne arbitrære Funktioner og Konstanter ved Hjælp af Grænsebetingelserne. Naar denne Vej imidler- tid, som saa ofte, er ufremkommelig, kan man efter Ritz1} naa .til en Tilnærmelses-Løsning ved at gaa frem i omvendt Orden, saa man begynder med Grænsebetin- gelserne. For de søgte Størrelser opstilles da straks efter bedste Skøn Udtryk af Formen Ux = + a2f2 -f- • • • • J Uy = l’iTi + bsTa +••••? (17) hvor a,. a2 ••••, b1; b2 •••• betegner nogle foreløbigt ubekendte Konstanter, medens f og <p er bekendte Funktioner af Koordinaterne. Disse Funktioner vælges naturligvis saaledes, at de fører til et saa fornuftigt som muligt Ferløb af de søgte Størrelser, men dernæst tillige saaledes, at de hver for sig tilfredsstiller Grænsebetingelserne, d. v. s. i alt Fald de Græn- sebetingelser, (1er refererer sig til Overflade-Punkternes Forskydninger (at et Understøtningspunkt ligger stille >) Som almindelig Metode er Fremgangsmaaden, selv om den i specielle Tilfælde ogsaa er anvendt tidligere, først angivet' af H'. Ritz i »Grelles Journal f. reine u. angew. Math.«, Bd. 135, Heft 1 (1908). I sin »Technische Elastizitätslehre« (1913, S. 397) meddeler H. Lorenz et ret kunstigt Bevis for Betin- gelsen (16).