Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

I rS I Meddelelse LVII. Bøjning med Tværkræfter. Af Docent P. M. Frandsen, M. Ing. F. modsat en vil- tænkes Naar man kun betragter Bjælker af Form som rette j Endeflade maa der da virke en lige saa stor og Da Plan altid kan vinkelrette Hovedakser Totalvirkningen findes Virkninger, er det til- denne Virke- rettet Kraft A = P og et Moment Ma — PI. kaarlig Kraft i Endetværsnittets opløst efter de to paa hinanden i Tværsnittets Inertiellipse, og ved Addition af Komposanternes strækkeligt at behandle det Tilfælde, hvor Kraften vir- Koordinatsystemet lægges, vist paa Fig. 1, idet X- og Y-Aksen er Tværsnit- Hovedakser og O dets Tyngdepunkt. Efter Saint-Vénant’s semi-inverse Metode Prismer, faas ved den korrekte Behandling af Opgave tre Hovedtilfælde efter Belastningens maade : Belastning paa Prismets Endeflader alene, Belastning tillige paa Prismets cylindriske Overflade samt Belastning med Prismets Egenvægt. Den fuldstændige Løsning af første Belastningstil- ker efter den ene af disse, fælde skyldes Saint-Vénant, hvis Fremstilling heraf fin- som des i hans to berømte Afhandlinger »Mémoire sur la | tets torsion des prismes« 1855 og »Mémoire sur la flexion | sæt- des prismes« 1856. Undersøgelserne over de to sidste I tes Tilfælde er af langt yngre Dato, ca. 1901, og skyldes navnlig J. H. Micheli og E. Almansi, men blev indle- dede allerede 1889 af K. Pearson, som fastslog, at de fra den klassiske Bernoulli-Euler’ske Bøjningsteori stam- mende Resultater: Bjælkeaksens Krumning er propor- tional med Bøjningsmomentet, og Nullinien gaar gen- nem Tværsnittets Tyngdepunkt, indskrænker sig til at gælde for det af Saint-Vénant undersøgte første Tilfælde, men derimod ikke holder Stik i de to sidste. Afvigel- serne er dog ikke særlig store har for spinkle Bjæl-. ker væsentlig teoretisk Interesse, saa at man i Praksis kan anvende Saint-Vénant’s Resultater med tilstrækkelig I Nøjagtighed ogsaa for de andre to Belastningstilfælde. nu Q M X II Q II x 11 o o jc. Q N N x, I (1) De hvor I er Tværsnittets Inertimonient om Y-Aksen. valgte Spændinger stemmer overens med det langt simplere Belastningstilfælde, Bøjning med et Kraftpar, og Opgaven her bestaar da blot i Bestemmelsen af <le resterende Spændingskomposanter rzx og rzy saaledes, at alle Betingelsesligninger bliver tilfredsstillede. Dette ud- føres simplest ved at opskrive de relative Koordinat- ændringer u, v, w for et vilkaarligt Punkt x, y, Gzz er den eneste Normalspænding, trykkes Længdeændringen i Z-Aksens p ( I 2^ —---------------’n- Hvis dette var den El ning, vilde Neutralplanen deformeres til flade med Frembringere vinkelret paa Bøjningsplanen, og 1 _ P (1-z) R ~ El Alle Planer parallelle med Neutralplanen bliver Parallel- flader til Neutralfladen, medens de oprindelige Normal- planer vedbliver at være Normalplaner ogsaa i Bjælkens deformerede Figur, saaledes som det vil være bekendt fra den elementære Koordinatændringer Da N N Betning z. ud- ved II N S eneste Virk- Saint-Vénant’s Løsning. Af Hensyn til det følgende skal jeg kort udvikle denne, idet Ligningerne dog bringes paa den Form, som I er angivet af A. E. H. Love i »A treatise on the mathe-1 (jens Krumning i denne være bestemt ved matical theory of elasticity« 1), hvoraf fremgaar, at det almindelige Tilfælde af Bøjning tillige indeholder et rent Vridningsproblem. Spændingskomposanterne kaldes Oxx, Cyy, Ozz, Tyz, øyy, ezz, CyZ, ezx, Cxyi er for isotrope Legemer 1 fzx, Txy, Forskydningskomposanterne exx, deres X N O e — p^.vy— M(ozz + °xx))> ; (x, y, z) bliver da: 1 ’ 1 ! TyZ, ezx --- TZX, I U •zx O x 11 Tal øg indbyrdes Relationer V, (Öxx--- P (Öyy + Özz)), r, 1 / \&7.z “F ^yy))> c. Txy, hvor E er Young’s Modulus, p, Poisson’s G E , " Glidningsmodulus. 2(1 + P) -n -Id t|e (X O Il II > W El N fe A o\ en Cylinder- Bøjningsteori. De heraf følgende for et Punkt med Koordinater E| ? N II Ç te ex Pz Z + El N T o. ä Imidlertid foregaar der ogsaa Længdeændringer i X- og Y-Aksens Ret- ninger, givne ved : Fig- 1- Belastningstilfældet er, som vist i Fig. 1, en vandret Bjælke, paavirket af en lodret lïnkeltkraft P i den ene Endeflades Tyngdepunkt2). Paa den modsatte ‘I Henvisningerne gælder 2. Udgave, Cambridge 1906. V) For det betragtede Bjælkestykke 1 er Momentkui'ven en ret X X II II T: I 5 og da endvidere ifølge (1) = exv =0, maa oprindelig rette Vinkler mellem Linier i Tværsnittets Plan ogsaa være Linie, og Tværkraften konstant, hvilket er en Betingelse for Rigtigheden af det følgende. For de mellem Enkeltkræf- terne liggende Stykker af en prismatisk Bjælke, belastet med Enkeltkræfter i endelige Afstande, gælder Udviklingen altsaa ogsaa.