Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

reite efter Deformationen. Heraf følger, at rette Linierl parallelle med X-Aksen deformeres til rette Linier, konvergerende mod samme Punkt, nemlig Centrum for | u4— -yy + ßH v4=Yx - az+ß', w4= - ßx + ay + y',' faas følgende Udtryk for Koordinatændringerne: de Cirkelbuer, som rette Linier i Y-Aksens Retning de- formeres til. De ovenfor omtalte Cylinderflader ændres I da til s a d e 1 f o r m e d e F1 a d er med Hovedkrumningerne: Cl. II Bøjningsplanen « — M X 2 7 i Normalplanerne. Da Tværsnittets Dimensioner er tøp(l-z) (x2-y»)+jlz2_|z8)_Ty + ßz+a- ^(1 — z) xy + yx — az + ß' (i() — x(lz — ^z2)) — ßx + ay + y'. (2) ringe Forhold til Krumningsradierne, kan disse n0J Heraf udledes: O - H N II N X II o o- N , - + tol-1 X to ^25 + N- N N5 ’r El \ôx N* “i- bN- M C - n II CD N 11 + cz O» eller, da G 1 II te + | X. p El - i + X X ôt|> èy ’ XrAkse Fig. 2. agtigt nok alle regnes lig Neutralfladens. I Eig 2 er antydet Deformationen af et oprindelig rektangulært Tværsnit, hvis Underside er trykket. Idet Punktet C har de oprindelige Koordinater BC = x og AC = v, vil del i sin nye Stilling C' efter Deformationen have faaet følgende Koordinatændringer : r . y2 r >'(1 — z) pfi-z) %=J =1 p L ’xdx-ip Uy. J Ö 1 J o 1 = iP(l — z)(x3-y2) v* — f eyy<iy = f M xdy = p xy •'n Jo' kl W2 = 0. De ubekendte Spændingskomposanter tzx og rzy ændrer de oprindelig rette Vinkler mellem Bjælkens Frenibringerretning og Normalplanernes Elementer, hvor- ved de deformeres til krumme Flader, hvis Ligning er ens for alle Tværsnit og udtrykkes ved en Funktion i|>, som kun indeholder x og y: u3 = 0, v3 = 0, w3 = ’ i|>. Ej 1 bøjes hertil Koordinatændringerne fra en Flytning af Bjælken som Helhed, given ved Koordinatændringerne i et', |3' og y' samt Vinkeldrejningerne a, ß og y oin | henholdsvis X-, Y- og Z-Aksen: --------. o« --------X ZL x zt I I '------- ---------- j —< — ' x Si Û« —cu --J- ; TH CM CM Il II M >> (3) Idet vi ved Opstillingen af Ligningerne (2) har be- nyttet os af et elastisk Legemes indre og ydre kinenia- tiske Forhold, haves til Bestemmelse af i|) kun de indre [ Ligevægtsbetingelser og Randbetingelserne. De 3 indre Ligevægtsbetingelser for et i vægtløst Legeme : d°XX ! ^Ty' I dtn __ ÖTyx ÔQyy ÔTyz _ öx öy + dz ’ ôx + öy öz — °’ . örzy dcsxz___ öx öy + ~ °’ bliver paa Grund af Ligningerne (1) til: ÈEï?__ n — n i ^rzy i P « z.\ öz -°’ -ö?-0’ “dx'+Ty + I X = °’ W som viser, at rzx og rzy er Funktioner af x og y alene, svarende til Forudsætningen ovenfor om, at ij) var uaf- hængig af z. Af de 3 Randbetingelser: Pxv = Gxx cos (xv) + Txy cos (yv) + r„ cos (zv) Pyv = Tyx cos(xv) + Oyycos(yv) 4- ryI cos(zv) Pzv — tzx cos (xv) + rzy cos (yv) + ozz cos (zv) faas, idet p betegner Overfladespændingen og v Over- fladenormalen regnet positiv udad : for v =|= z, d. v. s. Prismets Endeflader Pxv i ^xz» Pyv — Pzv —— H~ Om, (5 ft) for v _L z, d. v. s. Prismets Sideflader Pxv — o, Pyv = 0, plv = rZI cos(xv) 4- Tzy cos(yv) = 0. (5) Af (5) følger, at det ved (1) trufne Valg tilfredsstil- ler de to første, medens den sidste former sig som en Betingelsesligning for rzx og rzy. Den udtrykker nem- lig, at den resulterende Tangentialspænding ved Tværsnittets ubelastede Omkreds skal være rettet efter dettes Tangent. Indsættes Værdierne fra (3) i (4) og (5), faas: