Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

480 - og -r åx2 àt|> éi|) öij) <- — Ä cos XV + T cos yv) = OV öx dy |fx(x2 — y2) cos (xv) + pxy cos(yv). (6) Af (5 a) ses, at de to Endefladers Enkeltkræfter skal være fordelte over Tværsnittet efter samme Love som de indre Tangentialkomposanter, medens Ma — PI skal være fordelt efter samme Lov som Nor- malkomposanterne. Denne Fordeling haves i Alminde- lighed ikke i Praksis, men ifølge Saint-Véiianl’s Prin- cip medfører en urigtig Fordeling ved spinkle Bjælker kun lokale Forstyrrelser i Tilstandsformen. Fordringen om den nøjagtige Fordeling udtrykkes i øvrigt ved Ligningerne: JJTzxdxdy = P, JJrZydxdy 0, ff Ozzdxdy = 0, JJyGzzdxdy = 0, JJxOzzd iy = PI eller 0, JJ (xTly — yrzx)dxdy = 0. De to første er opfyldte, idet de ved (4) og (5) og | Gaiiss's Integralsætning, hvorved Fladeintegralet omdan- nes til cl Randintegral, kan omskrives til . ÖTÄy dx dy X '--- II <>g ; ' + ox öy / J 4- TZy cos (yv)) ds = P som indsatte i (4) med Ozz = 0 og (5) giver de sædvan- lige Vridningsligninger: + II o c crq + o öy C°S(yV) — y cos(xv) — x cos(yv). De fuldstændige Ligninger for Bøjning af et vil- kaarligt Tværsnit bliver nu: < c Il H II I e s + + + E -o E: E ' i T I “ I ■JS "i* I "< i I ' I I -! 4- + + -CO “ p x 1 'C T -f- R. , -{ saml = *G (sr - ») + 2(i +~ Pli (^—«H-—»•>) —7— X S- -- li J+ cm" + --- + ---' 2 II P) oc I del følgende skal kun behandles symmetriske Tværsnit, saa at vi udelukkende kommer lil at be- nytte Ligningerne (3) og (6), som kun indeholder Funk- ; tionen t|), paa hvis Bestemmelse Problemets Løsning beror i dette Tilfælde. Ved de Heste Opgaver er det bekvemt at indføre en ny Funktion y> bestemt ved ôrz> öx O ! N H X* 11 o 'jr c xydxdy = x — xy3- Indføres denne i Ligningerne (6), ö3X , öaX _ öx2 öy2 (9) ændres disse til : (10) + rzy cos(yv))ds — 0. Den sidste i første Række og de to første i anden er opfyldte ifølge Forudsætningerne, idel tor Endefla- cos (xv)— cos (yv) = ôv dx v ’ 1 ôy w ’ [jpx2 + (1 — i|l)ys] COS (xv) + (2 + p) xy cos (yv). («1 derne ôzz = - x og 0. Den sidste er derimod som I Regel kun opfyldt, naar Tværsnittet er symmetrisk om | den Hovedplan, som er Kraftplan, saa at Ligningerne ! (3) og (6) kun giver en fuldstændig Løsning for symmetriske Tværsnit. For usymmetriske Tværsnit giver sidste Ligning i Regelen et vridende Moment om Z-Aksen, som maa ophæves ved Tilføjelse af endnu et Sæt Tangentialkom- posanter. Løsningen for dette Vridningsproblem faas ved at opskrive Koordinatændringerne herfra med den ubekendte Vridningsvinkel ö, der bestemmes saale- des, at Summen af de to Sæt giver Momentet om Z- Aksen lig Nul: u = — &yz, v = &xz, w — dO, hvor <t> er en Funktion af x og y alene, som angiver Normalsnittets Krumning. De herfra hidrørende Tan- gentialkomposanter bliver derefter: Korrekte Løsninger for nogle massive Tværsnit. I Ligning (10) kan man angive en Uendelighed af Integraler ved at indføre konjugerede Funktioner3) og q, saaledes at x -|- iy = ir)). Hvis man kan vælge disse saaledes, at Tværsnittets Omkreds er dannet af Kurver, langs hvilke enten eller r) er konstant, saa er Funktionen / den reelle Del af en Funktion F (Ç 4- iq) ÖY = x + i/i, f°r hvilken -- tilfredsstiller Betingelseslig- ningen ved Tværsnittets Omkreds. For cirkulære og elliptiske Tværsnit fører denne Metode direkte til Maa- let. Af disse har kun det cirkulære praktisk Betydning, hvorfor alene dette skal behandles her8). 1 Ved partiel Differentiation af disse to Ligninger, henholds- vis med Hensyn til y og x, elimineres <t> og >|> ved Subtrak- tion. Man kommer herved til den kinematiske Betingelses- ligning, som Ä. E. II. Love gaar ud fra i sin Udvikling 1. c. p. 316: dCzy _ öezx _2uPv öx öy El op Oj - N N '< M Il II o N N II G I x II e >> °? /o sz + * >> -f- I Il II I X ; >> /O ,/O /O /O + + 3 I N > N »'O ;/C /© '/O Il II 2) Se C. Christiansen: Indledning til den mathematiske Fysik I, 1887, pag. 61. s) Det elliptiske Tværsnit er behandlet efter denne Metode af A. E. H. Love, 1. c. pag. 32’, hvor X er funden ved Trans- formationen x + iy = c cosh -f iT]).