Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

- 492 - Kvadrat paa Kant. Halvakser d. (Fig. 5). Randbetingelsen (41) bliver for Kanterne 1/2 V2 x + V = + d, cos (xv) = + og cos (yv) = +^-: A + 3B(x2 —y3) —ya — 2(3B + l)xy = 0, som omskrives til: A H (6B + l)x8 — (3B + l)(x8 + 2xy + y2) = 0 eller, idet (x y)3 ~ d3: A — (3B + l)da + (6B + l)x3.= 0. For Kanterne (‘2 _ 1'2 x — y =.+■ d, cos (xv) = + - og cos (yv) = -f- faas A + 3B(xa — ys) — ya -j- 2(3B + 1)xy = 0, som omskrives til A + (6B + l)x3 —(3B + l)(xa — 2xy + y») = 0 eller, idet (x — y)s — d2 : A—(3B + 1) d2 + (6B + l)x8 = 0. I begge Tilfælde bliver altsaa: B = - A = |<P cos (xv) + ~ cos(vv) = 0, (41) ox ' dy Ligning (41) ses at være lig med Randbetingelsen (5), medens de to Tangentialkomposanter bliver partielle Differentialkvotienter af de deformerede Normalsnits Flade. For alle de tre nævnte Tværsnit kan man nu sætte: i = Ax B(x3 — 3xy2) — xya, (42) hvorved (40) er tilfredsstillet, medens Bestemmelsen af Konstanterne A og B, der udføres ved Hjælp af (41), former sig forskelligt for <le forskellige Tværsnit. Cirkel. Radius a. (Fig. 3). t— = A 4- 3 B (x2 — y2) — y2 ; cos (xv) — ÈÉ = _(6B + 2)xy; cos(yv) —y' Randbetingelsen (41) bliver: (A + 3B (x8 — y3) — y2) X _ (6B 2) xy — = 0, <1 cl som, idet x2 + y3 = a3, omskrives til : A + 3Ba3 — (12B -j- 3)y3 =. 0, hvoraf faas: B — — A — |as. P P Tzy ~ 4Ï Xy’ (43) i|> = |d8x — 1 (x3 + 3xy3) p = 2ï(i(<l3 -x3) - - (45)1 P Tzy ~ —2ÏXy- Maksimumsværdien af rZI findes i x = 0, y = 0 p bliver, idet rm = : na2 Maksimumsværdien af rzx findes i x — 0, y — 0 og P “ 2(f3 : Og bliver, idet r, N »O II M X II r0 — max rzx = 1,5 Tnl. Rektangel. Halvakser a og b. (Fig. 4), Bandbetingelsen (41) bliver: for Kanterne x = + a, cos(xv) = + 1, cos (yv) = 0: A + 3B (x3 — y3) -— yi — 0, for Kanterne y = + b, cos (xv) = 0, cos (yv) = + 1 : — (6B + 2)xy = 0, som omskrives til : A + 3Baä —(3B + l)yà = 0 og + 2(3B + l)bx 0, hvoraf faas: B = — A = a3 7 i X , CM Ô Il II II N N P P Maksimumsværdien af findes i x = 0, y — 0 og p bliver, idet rn. = : 4ab ^0 niøx tzx —■ 1,3 Tm. öib Da er Nul for alle Værdier af y, er det defor- merede Nonnalsnit en Cylinderflade. ! Dette Resultat er velkendt efter den sædvanlige Grashof’ske Metode. I Man kommer saaledes i alle Tilfælde til det meget simple Resultat, at Maksimumsværdien af rzx er lig 1,5 Gange Middelspændingen, en Værdi, som kun er lidt istørre end de ovenfor med |j = 0,3 fundne nøjagtige Værdier. Niveaukurverne i det deformerede Normalsnits Fla- de udtrykkes ved Ligningen: 4> — a = 0, hvor a er en arbitrær Konstant, og da Spændings- linierne efter (39) bestemmes ved Differentialligningen: vil man heraf se, at Spændingslinierne er ret- vinklede Trajektorier til Niveaukurverne. Ved Integration findes for de tie behandlede Tværsnit føl- gende Udtryk for Spændingslinierne : Cirkel: a3 — x3 — y3 — Cy3 Rektangel: y = C Kvadrat paa Kant: d2 •—x2 + y2 = Cy, hvor C er en arbitrær Konstant. ‘) 1 den nedenfor nævnte Afh. af Siegln. Fuchs er Spændin- gernes Variation for dette Tværsnit indgaaende diskuteret og' oplyst ved Eigm er.