Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

507 Meddelelse LX. En simpel Metode til Fourieroplosning af en forelagt Kurve. Af P. O. Pedersen. Indledning. En entydig, periodisk Funktion, y = f(x) med Perioden 2/, kan som bekendt erstattes af en Sum af Sinusled efter Formlen: 3 ac i[ a O o <75 'v. 3 hvor © » O <r. - « + bO O O -----. 1\3 -I 3 ----- + TT A =(Der er her 2p forudsat, at ya 0 og 4-«„cos ytp 0; for en kontinuert, periodisk Funktion kan delle altid opnaas ved eu simpel Forlæggelse af Be- (1) hvor 1 «0^ y + % cz:. (2) En saadan Fourieroplosning har stor Betydning for Behandlingen af en Del tekniske Problemer, særlig indenfor Vekselstrømsteknikken. Den prak- tiske Vanskelighed ved denne »harmoniske Ana- lyse« ligger i Bestemmelsen af Koefficienterne a og b. Er f(x) givet i Form af en eller an- den simpel, matematisk Funktion, vil det ofte være ' det nemmeste at beregne de nævnte Koefficienter ved at udføre de i I-'ormlerne (2) angivne Integra- tioner. Hyppigere er dog f\x) i Praksis slet ikke givet ved et matematisk Udtryk, men foreligger kun i Form af en tegnet Kurve, f. Eks. som et Oscillo- ; gram. Ved Udførelsen af den numeriske Integra- tion gaar man da som Regel1) frem paa den Maade, al man deler Perioden i et Antal lige store Dele. Er Delenes Antal 4p, og kaldes Ordinaterne i De- | lingspunkterne y0, y2, • • • • y,„ ■ ■■■ yip, bestem- mes Koefficienterne med Tilnærmelse ved følgende Udtryk: gyndelsespunktet). Beregningen af a’crne og ferne paa Grundlag af Formel (3) kan foretages paa den Maade, at man simpelthen maaler Ordinaterne, yn, paa en almindé- lig Længdemaalestok og derefter multiplicerer dem med de respektive Værdier af cos (s/iA) eller sin (snA), tagne fra en trigonometrisk Tabel, hvorefter man summerer Produkterne under fornødent Hensyn til disses Fortegn. Denne Metode giver et meget stort Multiplikationsarbejde og kræver desuden stor Omhu, hvis man skal undgaa Regnefejl. Disse Vanskeligheder har medført, al der i Ti- dens Løb er udarbejdet en Bække simplificerede Metoder til Bestemmelse af Fourierkoefficienterne, hvorom de nævnte Bøger giver nærmere Oplysnin- ger. Del forekommer mig imidlertid, at ingen af disse i Simpelhed og med Hensyn til Regnesikker- hed kan maale sig med den nedenfor beskrevne Metode. Jeg har lejlighedsvis anvendt denne i en længere Aarrække og har omtalt Princippet i mine Forelæsninger i Foraaret 19091). En fornyet Anvendelse i den sidste Tid bragte mig paa den Tanke, at Metoden inaaske ogsaa kan have Inter- esse for andre2). *) Koefficienterne a og b kan ogsaa bestemmes rent mekanisk ved Hjælp af særlige Apparater, harmoniske Analysatorer; men disse er dyre og benyttes ikke meget. En ret udtøm- mende Fremstilling af de almindelige Metoder til Bestem- melse af Fouriei'koefficicnterne findes i: E. Orlich: Aufnahme und Analyse von Wechselstrom- kurven. (1906). G. A. Carse and G. Shearer : A course in Fourier’s Analysis and Periodogram Analysis. (1915). Særlige Skemaer til Regningernes Udførelse er udgivne af C. Ennge og F. Emde (Rechnungsformular zur Zerlegung einer empirisch gegebenen periodischen Funktion in Sinus- wellen,) Den n y Metode. Ved denne maales Ordinaterne, y0, y1, y.2, • • • • y«, • • • • {/4p, ikke paa een og samme Maalestok, men paa en bestemt af en Række Maalestokke, der er af en saadan Beskaffenhed, at de aflæste Tal giver Vær- dien af den maalte Ordinat multipliceret med den paagældende cos eller sin. Skal man bestemme y„ cos (s/zA) paa denne Maade, er det klart, at den dertil benyttede Maale- *) P. O. Pedersen: Optegnelser til Forelæsninger over Telegrafi og Telefoni. Hefte I. Side 28. (1909). *) En noget lignende Metode er ogsaa bragt i Forslag af K. Beattie (Electrician, Vol. 67, p. 326, 370. 1911). B’s Me- tode er dog ikke lagt saaledes til Rette, at den umiddel- bart lader sig anvende, og jeg tror næppe, den vil vise sig saa bekvem, som den her beskrevne.