Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1917-21

321 Meddelelse XLV. »Formforandringsmetoden« til Beregning af statisk ubestemte Systemer. Af Professor A. Ostenfeld, M. Ing. F. Ved Beregningen af statisk ubestemte Systemer kan man som bekendt i Stedet for en simpel Stangspænding, et Moment eller lign, som overtallig indføre en Funktion af en eller flere Spændinger eller Momenter o. s. v., og noget saadant har man ofte forsøgt for at simplificere Løsningen af Elasticitetsligningerne. Det er altsaa egentlig kun en speciel Eliminationsmetode, der her har været Tale om. Paa den Maade kan det naturligvis ogsaa opfat- tes, naar man undertiden har indført en Forskydning (Formforandring) som overtallig, men denne Tanke kan med lige saa god Ret opstilles som fuldt side- ordnet med den førstnævnte, efter hvilken f. Eks. en Spæn- ding betragtes som overtallig. Ved bærende Konstruktio- ner er der overhovedet Tale om de to Slags Størrelser: Spændinger og Formforandringer; kender man det ene Sæt, kan man finde det andet, og omvendt, og ved mange Op- gaver (f. Eks. ogsaa fra Elasticitetsteorien) er det lige saa naturligt eller naturligere at tænke sig Formforandringerne som de i første Række ubekendte. I de senere Aar er det nu ogsaa ved adskillige Opgaver angaaende bærende Konstruktioner, ganske særligt Ramme- konstruktioner, erkendt, at man ad den Vej kommer til en simplere Beregning, og man er allerede naaet ret vidt i Retning af at sætte Metoden i System (Formänderungs- winkel«-, »slope-deflection;;-Metoden). Imidlertid har den- ne Fremgangsmaade hidtil været betragtet som noget for sig, uden rigtig Forbindelse med den ellers almindelige Teori for statisk ubestemte Konstruktioner. I Virkelig- heden er det. dog kun det almindelige Princip, at betragte en Forskydning som overtallig, man herved benytter, og del skal i det følgende vises1), at »K r a f t m e t o d e n«, hvorefter en Kraft, Spænding, et Moment o. s. v. indføres som overtallig, og »Formfor andring s metoden« er to ganske parallele til en vis Grad dualistisk til hin- anden svarende Metoder. De overtallige Forskydninger kaldes i det følgende fa, £b - • • • (vi benytter fremdeles Ordet »overtallig« ogsaa i denne Forbindelse, skønt det, som det om et Øjeblik vil vise sig, egentlig ikke just passer her). Da baade Forskyd- ninger og Spændinger er lineære Funktioner af Belastnin- gen, kan man skrive en hvilken som helst Spænding (Mo- ment o. s. v.) som: S = S'o — SX — SUf-, (1) hvor Betydningen af So, S'a • • • læses ud af Ligningen og er ganske analog med Betydningen af Størrelserne So. Sa - • naar man har indført Spændingerne Xa. Xb - ■ ■ som over- tallige. Ligesom man altid kan lade Xa, Xb- ■ • betyde Spændingerne i overtallige Stænger, eventuelt Understøt- ningsstænger, indre Momenter o. s. v., saa Xa,Xb altid betegner indre Kræfter i Systemet, lian man her, naar *) Idéen til dette Arbejde gaar tilbage til Udarbejdelsen af 2den Udg. af min Tekn. Statik II, 1913, men yderligere Til- skyndelser til dens nærmere Udførelse har jeg faaet dels gennem Ax. Bendixsen: »Methode der Alpha-Gleichungen«, Berlin 1914, dels ved en Samtale med Ing. Dr H. M Wester- gaard, Asoc. Prof. ved University of Illinois, Urbana, i Sommeren 1919. fa betyder Forskydningen af et Punkt a i en bestemt Ret- ning, tænke sig tilføjet en Stang, der udgaar fra a og med den nævnte Retning løber hen til et fast Punkt, og saaledes opfatte som Forlængelsen af denne tænkte Stang. Er den relative Forskydning af to Punkter a, indsættes den tænkte Stang som Forbindelse mellem de to Punkter; betyder en Vinkeldrejning, bliver den tænkte Stang til en Arm, der udgaar fra det Punkt a, hvori op- træder, og paavirkes til Bøjning, o. s. v. — S'o i Lig- ning (1) betegner da den Spænding, man faar i den betragtede Stang, naar alle de tilføjede tænkte Stænger faar Forlængelsen Nul (de tilføjede Arme faar Drejningen Nul), og naar det nye System, man herved kommer til, kun er paavirket af den givne Belastning; S'a er den Spænding, der frem ko min er, naar den i a tilføjede Stang faar Forlængelsen — 1 (eller den i a tilføjede Arm faar Drejningen —1), medens alle de andre tilføjedeStænger faar Forlængelsen Nul og den ydre Belastning er fjernet. Herved træder Forskellen mellem de to Metoder skarpt frem. Naar Xa,Xb betegner overtallige Spæn- dinger, bliver det Hovedsystem, man faar ved at sætte Xa= Xb — • • • = 0, statisk bestemt eller i alt Fald mindre statisk ubestemt end det forelagte System; naar Ja, £b- • • derimod er Forskydninger, kommer man til et i højere Grad statisk ubestemt System ved at sætte £a = £b = .••=: 0, idet de tilføjede Stænger (Arme) da optræder som Understøtninger (Indspændinger). Principielt gør dette naturligvis intet til Sagen; hvis man i det hele er i Stand til at opskrive Ligningerne (1) og der- ved udtrykke alle søgte Størrelser som Funktioner af Ka)Cb,--1 er Opgaven reduceret til at bestemme disse sidste. Men praktisk betyder Forskellen, at Formfor- andringsinetoden kun har nogen Værdi, hvis det til- syneladende mere komplicerede Hovedsystem (som vi ogsaa her vil kalde det System, der fremkommer for £a = £b = ■ . . — 0) i Virkeligheden er nogenlunde simpelt at behandle. Bestemmelsen af Størrelserne £a, • • er nu ganske analog med Bestemmelsen af Xa,Xb---, naar disse be- tyder overtallige Spændinger. I de i a, b • • • tilføjede tænkte Stænger (Arme) virker der Spændinger (Momenter), som kaldes Za,Zb---, og naar man vender tilbage til det forelagte System, skal ZB = Zb = • • • = 0. (2) Paa den anden Side kan Ligningerne (1) lige saa godt an- anvendes paa Za, Zb- • • som paa de andre Spændinger i Sy- stemet, og følgelig faar man til Bestemmelse af Forskydningerne £b ■ • • Ligningerne: ~~ 0 ■ Zao ^aa ^ab £b‘ ‘ , Zb = 0 = Zbo Zba Zbbfb- ' • , (3) Heri vedtages det, at Størrelserne Z altid skal regnes positive i Retningerne = — 1. Naar er en lineær Forskydning, opfattes den, som sagt,