Bestemmelse Af Spændinger I Plader Ved Anvendelse Af Differensligninger

FØRSTE AFSNIT. PLADER MED KONSTANT INERTIMOMENT. § 1. Opstilling af Differensligningen. Nedbøjningen af en elastisk Plade, som paavirkes af Kræfter vinkel- ret paa Pladens Plan, kan bestemmes ved Hjælp af den almindelige lineære, partielle Differentialligning ----P 2 ------------== (1—u2)2* (1) dxi dx2dy2 T dy4 0 hvor x og y = Pladens Koordinater i et retvinklet Koordinatsystem, z = Pladens Nedbøjning, E = Elasticitetskoefficienten, u = Poisson’s Forhold, I — Pladens Inertimoment pr. Længdeenhed, p = Belastningen pr. Arealenhed. Dersom man i Lign. (1) erstatter Diffentialerne med endelige Diffe- renser, faas den lineære, partielle Differensligning AI A4z A4z D Ax47 Ax2Ay3 Ay4 EL (2) Ser man foreløbig bort fra den Del af Pladen, som ligger i Nær- heden al Kanterne, kan man tænke sig den øvrige Del inddelt i rektan- gulære Elementer med Sidelinierne Ax og Ay og lade z betegne Ned- bøjningen af hvert enkelt Elements Midtpunkt. For hvert af disse nor- male Elementer vil man da kunne opskrive Lign. (2). Ved Hjælp af særlige Betingelser, som dernæst kan udledes for den Del af Pladen, som ligger i Nærheden af Kanterne, kan man faa det nødvendige Antal Lig- ninger til Beregning af Pladens Nedbøjning i bestemte Punkter. I Stedet for at danne Differensligningen (2) af Differentialligningen (1) kan man udlede Lign. (2) af Ligevægtsbetingelserne for et vilkaarligt Element, naar Formforandringen udtrykkes ved de indre Kræfter paa en bestemt Maade. Dette skal gøres i del følgende, dels fordi det heraf vil *) Se f. Ex. Ostenfeld: Teknisk Elasticitetslære, 1916, Side 501.