Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal
Forfatter: Julius Petersen
År: 1871
Forlag: C. Ferslew & Co.
Sted: Kjøbenhavn
Sider: 46
UDK: 511
Søgning i bogen
Den bedste måde at søge i bogen er ved at downloade PDF'en og søge i den.
Derved får du fremhævet ordene visuelt direkte på billedet af siden.
Digitaliseret bog
Bogens tekst er maskinlæst, så der kan være en del fejl og mangler.
8
Denne Værdi af k maa altsaa gjore Kesten til Nul, det vil sige, at de to Ligninger i k
M = 0 og N — 0
ere tilfredsstillede al alle Produkterne af to og to af Redderne i den givne Ligning, medens
er den almindelige Form for alle Faktorer af anden Grad, der ere indeholdte i /‘(r), ud-
trykte ved Produktet af de to tilsvarende Rocider. Man maa altsaa have
saa at Faktoren kan skrives
ep (k) jc k,
hvor <p er en rational Funktion.
De to Rødder findes altsaa af k ved en Ligning af anden Grad, og da ep (k) ikke
kan indeholde andre Ilodstørrelser end dem, der findes i k, kunne de altsaa udtrykkes ved
een Rodstørrelse flere, end der forekommer i k. Da alle Hodderne kunne dannes af en af
dem ved Ombytning af Fortegn, se vi heraf, at Rødderne i Almindelighed kunne
skrives med et Rodtegn flere end det mindste Antal, der forekommer i
noget Produkt af to af dem.
Dersom den givne Ligning er af Graden 2p, vil Antallet af Værdier for k være
2p (2i’~ 1)
~2 ’
saa at k bestemmes ved en Ligning af Graden
2p-i (2p —1).
Men denne Ligning kan loses ved Kvadratrod, og maa altsaa dele sig i Ligninger, hvis
Grader ere Potenser af 2, og mellem disse maa der, da Udtrykket ikke er deleligt med
2», være en, hvis Grad i det Højeste er 2p-1 ; dersom nu denne kan løses ved jo—1 Kvadrat-
rødder, kan den givne Ligning løses ved 7? saadanne. Sætningen vil altsaa gjælde for
Ligninger af Graden 2p, dersom den gjælder for Ligninger af Graden 2p-1; da den nu
gjælder for Ligninger af anden Grad, maa den gjælde almindeligt.
Beviset gjælder ikke for det Tilfælde, hvor den Ligning, der tjener til Be-
stemmelse af k, har lige Rødder; i dette Tilfælde bliver der andre Rødder i /’(./■) = 0, der
ogsaa have Produktet k; disse maa ogsaa blive Rødder i j — 0, saa at de to Poly-
nomier faa en fælles Faktor af højere end anden Grad.
I de ligestore Produkter af to 02' to af Rødderne kan den samme Rod ikke fore-
Ö
komme to Gange, thi af
= ß og xaxy = k
vilde felge
’
saa at den givne Ligning maatte have lige Rødder, og altsaa ikke kunde være irreduktibel.
Vi komme senere til nærmere at undersøge saadanne Ligninger; her kunne vi imidlertid
paa en simplere Maade se, at Sætningen ogsaa gjælder i dette Tilfælde. Vi kunde nemlig