Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

8 Denne Værdi af k maa altsaa gjore Kesten til Nul, det vil sige, at de to Ligninger i k M = 0 og N — 0 ere tilfredsstillede al alle Produkterne af to og to af Redderne i den givne Ligning, medens er den almindelige Form for alle Faktorer af anden Grad, der ere indeholdte i /‘(r), ud- trykte ved Produktet af de to tilsvarende Rocider. Man maa altsaa have saa at Faktoren kan skrives ep (k) jc k, hvor <p er en rational Funktion. De to Rødder findes altsaa af k ved en Ligning af anden Grad, og da ep (k) ikke kan indeholde andre Ilodstørrelser end dem, der findes i k, kunne de altsaa udtrykkes ved een Rodstørrelse flere, end der forekommer i k. Da alle Hodderne kunne dannes af en af dem ved Ombytning af Fortegn, se vi heraf, at Rødderne i Almindelighed kunne skrives med et Rodtegn flere end det mindste Antal, der forekommer i noget Produkt af to af dem. Dersom den givne Ligning er af Graden 2p, vil Antallet af Værdier for k være 2p (2i’~ 1) ~2 ’ saa at k bestemmes ved en Ligning af Graden 2p-i (2p —1). Men denne Ligning kan loses ved Kvadratrod, og maa altsaa dele sig i Ligninger, hvis Grader ere Potenser af 2, og mellem disse maa der, da Udtrykket ikke er deleligt med 2», være en, hvis Grad i det Højeste er 2p-1 ; dersom nu denne kan løses ved jo—1 Kvadrat- rødder, kan den givne Ligning løses ved 7? saadanne. Sætningen vil altsaa gjælde for Ligninger af Graden 2p, dersom den gjælder for Ligninger af Graden 2p-1; da den nu gjælder for Ligninger af anden Grad, maa den gjælde almindeligt. Beviset gjælder ikke for det Tilfælde, hvor den Ligning, der tjener til Be- stemmelse af k, har lige Rødder; i dette Tilfælde bliver der andre Rødder i /’(./■) = 0, der ogsaa have Produktet k; disse maa ogsaa blive Rødder i j — 0, saa at de to Poly- nomier faa en fælles Faktor af højere end anden Grad. I de ligestore Produkter af to 02' to af Rødderne kan den samme Rod ikke fore- Ö komme to Gange, thi af = ß og xaxy = k vilde felge ’ saa at den givne Ligning maatte have lige Rødder, og altsaa ikke kunde være irreduktibel. Vi komme senere til nærmere at undersøge saadanne Ligninger; her kunne vi imidlertid paa en simplere Maade se, at Sætningen ogsaa gjælder i dette Tilfælde. Vi kunde nemlig