Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

9 ligesaa godt have sat + j-2 = k og sogt fælles Faktor for f(x) og Beviset vilde da gjælde for alle Tilfælde, hvor den Ligning, der her kom til at bestemme k, ikke havde lige Rodder. Man kan ogsaa danne en ny Ligning af den givne, saaledes at Rød- derne skrives med de samme Rodstørrelser, idet man sætter rt?/ - (— b . x — —r- j eller blot y = a c 4- b. cy -j- d J 1 Dersom Sætningen gjælder om denne Ligning, rnaa den ogsaa gjælde om den givne, og vi kunne da altid vælge de vilkaarlige Størrelser saaledes, at den Ligning, der bestemmer Produkterne af to og to Rodder i den ny Ligning, ikke faar lige Rødder. Af yx — axt 4~ b, y2 — ax2 b, y3 — ax3 4- b, ?/4 = ax4 4- b vilde nemlig følge !/i Vi — °" x2 + + x2) + b2, y3 y4 _ a2 x3 x4 -|- ab (.r3 -J- x4) 4- b2. Skulde man nu for alle Værdier af a og b have yi y* = y-i y^ maatte man have •/ ! -J- X2 = ■/ 3 —X4, ^2 ==‘ '^3 ^*41 hvilket vilde medføre, at f(.r) = 0 havde lige Rødder og altsaa ikke var irreduktibel. II. Rationale Polynomiers Opløsning i rationale Faktorer. 1. Da den foregaaende Undersøgelse forudsætter, at den givne Ligning er irreduktibel, bliver det nødvendigt at vise, at en hvilkensomhelst rational Ligning altid kan deles i de irreduktible Ligninger,’ af hvilke den er sammensat, en Opgave, der, som bekjendt, falder sammen med den, at opløse Ligningens venstre Side i dens rationale Faktorer. Dette kan kun gjøres ved efterhaanden at søge Faktorer af første, anden, tredie Grad o. s. v., hvor lllan kan være nødsaget til at gaa til Faktorer af Ligningens halve Grad. Gjælder det kun 0111 at bestemme saadanne Hedder, der kunne udtrykkes ved Kvadratrod, behøve vi, ifølge (l< * Udviklede, kun at soge saadanne rationale Faktorer, hvis Grad er en Potens af 2. 2. Bestemmelsen af en Faktor af første Grad sker som bekjendt ved at undersøge, om nogen af Faktorerne i det Led af Ligningen, der ikke indeholder x, er Rod i Lig- ninet n. ])a man niaa prøve Faktorerne med begge Fortegn, bliver Arbejdet ofte meget besvæilibt, sch om man anvender den Lettelse, ved en af de bekjendte lette, men meget 2